Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，将△ABC绕点C顺时针旋转90°，使A落在BC边的A₁处，△A₁B₁C向左平移，使A₁落在AB边的A₂上，在整个过程中，A点移动的路程为

3

2

π+

3

4

．

Answer 1

分析：连A₁A₂，先根据勾股定理计算出BC=

AB2-AC2

=

52-32

=4，由于△ABC绕点C顺时针旋转90°，使A落在BC边的A₁处，根据旋转的性质得到∠ACA₁=90°，CA₁=CA=3，然后利用弧长公式计算出弧AA₁的长=

90•π•3

180

=

3

2

π，又根据相似三角形的判定由A₁A₂∥BC，可得△BA₁A₂∽△BAC，则A₁A₂：AC=BA₁：BC，即A₁A₂：3=1：4，可得到A₁A₂=

3

4

，于是在整个过程中，A点移动的路程为

3

2

π+

3

4

．

解答：解：连A₁A₂，如图，
∵∠ACB=90°，AB=5，AC=3，
∴BC=

AB2-AC2

=

52-32

=4，
∵△ABC绕点C顺时针旋转90°，使A落在BC边的A₁处，
∴∠ACA₁=90°，CA₁=CA=3，
∴弧AA₁的长=

90•π•3

180

=

3

2

π，
∴BA₁=BC-CA₁=4-3=1，
∵A₁A₂∥BC，
∴△BA₁A₂∽△BAC，
∴A₁A₂：AC=BA₁：BC，即A₁A₂：3=1：4，
∴A₁A₂=

3

4

，
∴在整个过程中，A点移动的路程=

3

2

π+

3

4

．
故答案为：

3

2

π+

3

4

．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了勾股定理、弧长公式以及相似三角形的判定与性质．