Question

1．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发．沿CB向点B移动，设P、Q两点移动ts（0＜t＜5）后，△CQP的面积为Scm²
（1）在P、Q两点移动的过程中，△CQP的面积能否等于3.6cm²？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；
（2）当运动时间为多少秒时，△CPQ与△CAB相似．

Answer 1

分析 （1）在矩形ABCD中求出对角线AC的长度，然后表示出CQ、PC的长度，过点P作PH⊥BC于点H，然后在Rt△PHC中表示出PH的长度，根据面积为3.6cm²，列方程求解．
（2）分∠PQC=90°与∠CPQ=90°两种情况进行讨论即可．

解答 解：（1）在矩形ABCD中，
∵AB=6cm，BC=8cm，
∴AC=10cm，AP=2tcm，PC=（10-2t）cm，
CQ=tcm，
过点P作PH⊥BC于点H，
则PH=$\frac{3}{5}$（10-2t）cm，
根据题意，得 $\frac{1}{2}$t•$\frac{3}{5}$（10-2t）=3.6，
解得：t₁=2，t₂=3．
答：△CQP的面积等于3.6cm²时，t的值为2或3．

（2）如答图1，当∠PQC=90°时，PQ⊥BC，
∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，QC=t，PC=10-2t，
∴△PQC∽△ABC，
∴$\frac{PC}{AC}$=$\frac{CQ}{BC}$，即$\frac{10-2t}{10}$=$\frac{t}{8}$，解得t=$\frac{40}{13}$（秒）；
如答图2，当∠CPQ=90°时，PQ⊥AC，
∵∠ACB=∠QCP，∠B=∠QPC，
∴△CPQ∽△CBA，
∴$\frac{CP}{BC}$=$\frac{CQ}{AC}$，即$\frac{10-2t}{8}$=$\frac{t}{10}$，解得t=$\frac{25}{7}$（秒）．
综上所述，t为$\frac{40}{13}$秒与$\frac{25}{7}$秒时，△CPQ与△CAB相似．

点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质，解题关键是对这些知识的熟练掌握及灵活运用，在解答（2）时要注意分类讨论．