Question

6．如图，正方形ABCF和正方形CEFG，将正方形CEFG绕C顺时针旋转
（1）如图1，求证：BE=DG；
（2）当旋转到如图2位置时，此时A，F，C共线，点H为AF中点，连接BH，GH，试探究BH与GH的关系；
（3）如图3，若AB=5，CG=2，在旋转过程中，连接BG，DE，请直接写出BG²+DE²的值．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD与四边形EFGC都为正方形，得到四条边相等，四个角为直角，利用SAS得到三角形BCE与三角形DCG全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；
（2）BH=HG，理由为：取BE的中点N，连接HN，HE，如图2所示，由题意得到HN为梯形ABEF的中位线，进而得到HN与AB平行，可得出HN与BE垂直，利用SAS得出三角形HEC与三角形HGC全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；
（3）由（1）得：△BCE≌△DCG，利用全等三角形对应角相等得到∠1=∠2，利用等角的余角相等及直角的定义得到∠BOD为直角，利用勾股定理求出所求式子的值即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD和EFGC都为正方形，
∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCE+∠DCE=∠ECG+∠DCE=90°+∠DCE，即∠BCE=∠DCG，
在△BCE和△DCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}\\{∠BCE=∠DCG}\\{CE=CG}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴BE=DG；
（2）BH=HG，理由为：

取BE的中点N，连接HN，HE，如图2所示，
∵AB∥CG∥FE，H是AF的中点，N为BE的中点，
∴HN是梯形ABEF的中位线，
∴HN∥AB，
∴HN⊥BE，
∵BN=NE，
∴BH=HE，
∵CE=CG，∠ECG=∠ECG=45°，CH=CH，
∴△HEC≌△HGC（SAS），
∴BH=HG；
（3）由（1）得：△BCE≌△DCG，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠4=∠3+∠1=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠BOC=90°，
连接BD，EG，如图3所示，

∴DO²+BO²=BD²=BC²+CD²=50，EO²+OG²=EG²=CG²+CE²=8，
则BG²+DE²=DO²+BO²+EO²+OG²=58．

点评 此题属于四边形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，梯形的中位线定理，熟练掌握性质与定理是解本题的关键．