Question

6．如图，已知AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，点D在OC的延长线上，连接DA，交BC的延长线于点E，使得∠DAC=∠B．
（1）求证：DA是⊙O切线；
（2）求证：△CED∽△ACD；
（3）若OA=1，sinD=$\frac{1}{3}$，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）由圆周角定理和已知条件求出AD⊥AB即可证明DA是⊙O切线；
（2）由∠DAC=∠DCE，∠D=∠D可知△DEC∽△DCA；
（3）由题意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD=2，故此可得到DC²=DE•AD，故此可求得DE的长，于是可求得AE的长．

解答 （1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠B=90°，
∵∠DAC=∠B，
∴∠CAB+∠DAC=90°．
∴AD⊥AB．
∵OA是⊙O半径，
∴DA为⊙O的切线；
（2）解：∵OB=OC，
∴∠OCB=∠B．
∵∠DCE=∠OCB，
∴∠DCE=∠B．
∵∠DAC=∠B，
∴∠DAC=∠DCE．
∵∠D=∠D，
∴△CED∽△ACD；
（3）解：在Rt△AOD中，OA=1，sinD=$\frac{1}{3}$，
∴OD=$\frac{OA}{sinD}$=3，
∴CD=OD-OC=2．
∵AD=$\sqrt{O{D}^{2}-O{A}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
又∵△CED∽△ACD，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{DE}$，
∴DE=$\frac{C{D}^{2}}{AD}$=$\sqrt{2}$，
∴AE=AD-DE=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理的应用、相似三角形的性质和判定，证得△DEC∽△DCA是解题的关键．