Question

如图，抛物线y＝x²＋bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A(－1，0)．

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)判断△ABC的形状，证明你的结论；

(3)点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM＋DM的值最小时，求m的值．

Answer 1

解：（1）∵点A（-1，0）在抛物线y=x²+bx-2上，

∴×（-1）²+b×(-1)-2=0,b=-

∴抛物线的解析式为y=x²-x-2.          

y=x²-x-2=(x²-3x-4)=(x-)²-,

∴顶点D的坐标为 (,-).                

(2)当x=0时y=-2, ∴C（0，-2），OC=2。

当y=0时，x²-x-2=0，∴x₁=-1,x₂=4, ∴B(4,0). 

∴OA=1,OB=4,AB=5.

∵AB²=25,AC²=OA²+OC²=5,BC²=OC²+OB²=20,

∴AC²+BC²=AB².∴△ABC是直角三角形.       

(3) 作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），O C′=2

连接C′D交x轴于点M，

根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小。

解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E.

∵ED∥y轴, ∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM∴△C′OM∽△DEM.

∴=

∴=,∴m=   

解法二：设直线的解析式为y=kx+n,

则，解得n=-2,k=-.

∴y=-x+2.

∴当y=0时， -x+2=0，

x=.     ∴m=.