Question

【题目】（本小题满分10分）关于x的一元二次方程x2–（k+3）x+2k+2=0．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】（1）∵在方程x2–（k+3）x+2k+2=0中，

Δ=[–（k+3）]2–4×1×（2k+2）（2分）

=k2+6k+9–4×（2k+2）=k2–2k+1=（k–1）2≥0，

∴方程总有两个实数根．（4分）

（2）∵x2–（k+3）x+2k+2=（x–2）（x–k–1），

∴原方程化为（x–2）（x–k–1）=0，（6分）

解得x1=2，x2=k+1．

∵方程有一根小于1，

∴k+1<1，解得：k<0，

∴k的取值范围为k<0．（10分）