如图1所示.直线l:y=mx+5m与x轴负半轴.y轴正半轴分别交于A.B两点．(1)求点A的坐标,(2)如图2所示.当OA=OB时.设Q为线段AB延长线上一点.连接OQ.过A.B两点分别作AM⊥OQ于M.BN⊥OQ于N.若BN=3.求MN的长,(3)如图3.当m取不同的值时.点B在y轴的正半轴上运动.分别以OB.AB为直角边在第一.第二象限内作等腰直角三角形OBF和ABE.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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15．如图1所示，直线l：y=mx+5m（m为常数，m≠0）与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．
（1）求点A的坐标；
（2）如图2所示，当OA=OB时，设Q为线段AB延长线上一点，连接OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若BN=3，求MN的长；
（3）如图3，当m取不同的值时，点B在y轴的正半轴上运动，分别以OB、AB为直角边在第一、第二象限内作等腰直角三角形OBF和ABE，连接EF交y轴于P点，问当点B在y轴上运动时，试猜想PB的长是否变化？如果不变，求出它的值；如果变化，请问如何变化？

分析（1）将y=0代入y=mx+5m，求出x的值，进而得到A点坐标；
（2）在Rt△BON中，利用勾股定理求出ON=$\sqrt{O{B}^{2}-B{N}^{2}}$=4，再根据AAS得到△AMO≌△ONB，用对应线段相等求长度；
（3）如图，作EK⊥y轴于K点，利用AAS得到△AOB≌△BKE，利用全等三角形对应边相等得到OA=BK，EK=OB，再利用AAS得到△PBF≌△PKE，寻找相等线段，并进行转化，求PB的长．

解答解：（1）∵直线l：y=mx+5m，
∴当y=0时，mx+5m=0，
∴A（-5，0）；

（2）在Rt△BON中，∵∠ONB=90°，OB=OA=5，BN=3，
∴ON=$\sqrt{O{B}^{2}-B{N}^{2}}$=4．
在△AMO与△ONB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAM=∠BON}\\{∠AMO=∠BNO}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△AMO≌△ONB（AAS），
∴AM=ON=4，OM=BN=3，
∴MN=OM+ON=3+4=7；

（3）如图，作EK⊥y轴于K点，
∵△ABE为等腰直角三角形，
∴AB=BE，∠ABE=90°，
∴∠EBK+∠ABO=90°，
∵∠EBK+∠BEK=90°，
∴∠ABO=∠BEK．
在△AOB和△BKE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠BKE=90°}\\{∠ABO=∠BEK}\\{AB=BE}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△BKE（AAS），
∴OA=BK，OB=EK，
∵△OBF为等腰直角三角形，
∴OB=BF，
∴EK=BF．
在△EKP和△FBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EKP=∠FBP=90°}\\{∠KPE=∠BPF}\\{EK=FB}\end{array}\right.$，
∴△PKE≌△PBF（AAS），
∴PK=PB，
∴PB=$\frac{1}{2}$BK=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{5}{2}$．

点评此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．

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