Question

如图，在长方形ABCD中，O为对角线AC的中点，P是AB上任意一点，Q是OC上任意一点，已知：AC=2，BC=1．
（1）求折线OPQB的长的最小值；
（2）当折线OPQB的长最小时，试确定Q的位置．

Answer 1

解：（1）作点B关于AC的对称点B′，作点O关于AB的对称点O′，
连接AB′，QB′，AO′，PO′，B′O′，则QB=QB′，OP=O′P，
折线OPQB的长=OP+PQ+QB=O′P+PQ+QB′，
∴折线OPQB的长的最小值=B′O′．
∵在长方形ABCD中，∠ABC=90°，
在△ABC中，AC=2，BC=1，∠ABC=90°，
∴∠BAC=30°，
∵点B、B′关于AC对称，点O、O′关于AB对称，
∴∠B′AC=30°，AB′=AB=，∠O′AB=30°，AO′=AO=1，
∴∠B′AO′=90°，
∴B′O′=，
∴折线OPQB的长的最小值=2；

（2）设B′O′交AC于点Q′，
∵在Rt△AO′B′中，AO′=1，B′O′=2，
∴∠AB′O′=30°，则∠AO′B′=60°，
∵在△AO′Q′中，∠Q′AO′=∠Q′AB+∠BAO′=60°，
∴△AO′Q′是等边三角形，
∴AQ′=AO′=1=AO，
∴点Q′就是AC的中点O．
∴当折线OPQB的长最小时，点Q在AC的中点．
分析：（1）先作点B关于AC的对称点B′，作点O关于AB的对称点O′，连接AB′，QB′，AO′，PO′，B′O′，则QB=QB′，OP=O′P，有两点之间线段最短可知折线OPQB的长的最小值=B′O，再由轴对称的性质及勾股定理即可求出B′O的长，即折线OPQB的长的最小值；
（2）设B′O′交AC于点Q′，再由正方形的性质及三角形内角和定理判断出△AO′Q′是等边三角形，由等边三角形三线合一的性质即可解答．
点评：本题考查的是最短线路问题及正方形的性质，解答此类题目的关键是综合运用正方形及等边三角形的性质求解．