Question

许多桥梁都采用抛物线型设计，小明将他家乡的彩虹桥按比例缩小后，绘成如下的示意图，图中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁，x轴表示桥面，y轴经过中间抛物线的最高点，左右两条抛物线关于y轴对称．经过测算，中间抛物线的解析式为
y=-x²+10，并且BD=CD．
（1）求钢梁最高点离桥面的高度OE的长；
（2）求桥上三条钢梁的总跨度AB的长；
（3）若拉杆DE∥拉杆BN，求右侧抛物线的解析式．

Answer 1

解：（1）∵y=-x²+10，
∴当x=0时，y=10，
∴钢梁最高点离桥面的高度OE的长10m；

（2）∵y=-x²+10
∴当y=0时，0=-x²+10，
∴x=±20，
∴C（-20，0），D（20，0），
∴DC=40，
∵BD=CD，
∴BD=20，
∵左右两条抛物线关于y轴对称，
∴AC=BD=20，
∴AB=40+20+20=80m；

（3）作NF⊥x轴于点F，连结DE、BN
∴∠NFB=∠EOD=90°，DF=BF=10，
∵DE∥BN，
∴∠2=∠1，
∴△NFB∽△EOD，
∴，
∴，
∴NF=5．
∴N（30，5）．
设抛物线的解析式为y=a（x-30）²+5，由题意，得
0=a（20-30）²+5，
a=-
∴．
分析：（1）将x=0代入抛物线的解析式就可以直接求出结论．
（2）当y=0时代入抛物线的解析式，求出其交点坐标就可以求出CD的长度，从而就可以BD、CD的值而得出结论．
（3）由（2）的结论可以求出点B、点D的坐标，作NF⊥x轴于点F，连结DE、BN，△NFB∽△EOD就可以求出NF的值而得出N的坐标，再由待定系数法就可以求出结论．
点评：本题考查了待定系数法求抛物线的解析式的运用，轴对称的运用，平行线的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，抛物线的顶点式的运用，解答时求出抛物线与x轴的交点坐标是关键．