【题目】如图乙,△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,点P为射线BD,CE的交点.
(1)如图甲,将△ADE绕点A 旋转,当C、D、E在同一条直线上时,连接BD、BE,则下列给出的四个结论中,其中正确的是_____.
①BD=CE②BD⊥CE③∠ACE+∠DBC=45°④BE2=2(AD2+AB2)
(2)若AB=4,AD=2,把△ADE绕点A旋转,
①当∠EAC=90°时,求PB的长;
②求旋转过程中线段PB长的最大值.
【答案】①②③
【解析】分析:(1)①由条件证明△ABD≌△ACE,就可以得到结论;②由△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD=∠ACE,就可以得出∠BDC=90°而得出结论;③由条件知∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°,由∠DBC+∠ACE=90°,就可以得出结论;④△BDE为直角三角形就可以得出BE=BD+DE,由△DAE和△BAC是等腰直角三角形就有DE=2AD,BC=2AB,就有BC=BD+CD2≠BD就可以得出结论.(2)①分两种情形a、如图2中,当点E在AB上时,BE=AB-AE=1.由△PEB∽△AEC,得,由此即可解决问题.b、如图3中,当点E在BA延长线上时,BE=3.解法类似.②如图5中,以A为圆心AD为半径画圆,当CE在A上方与A相切时,PB的值最大.求出PB即可.
详解:(1)解:如图甲:
①∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC,
即∠BAD=∠CAE.
在△ABD和△ACE中,
AD=AF,∠BAD=∠CAE,AB=AC,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴BD=CE,∴①正确;
②∵△ABD≌△ACE,
∴∠ABD=∠ACE.
∵∠CAB=90°,
∴∠ABD+∠AFB=90°,
∴∠ACE+∠AFB=90°.
∵∠DFC=∠AFB,
∴∠ACE+∠DFC=90°,
∴∠FDC=90°.
∴BD⊥CE,∴②正确;
③∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ABC=45°,
∴∠ABD+∠DBC=45°.
∴∠ACE+∠DBC=45°,∴③正确;
④∵BD⊥CE,
∴BE2=BD2+DE2,
∵∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,
∴DE2=2AD2,BC2=2AB2,
∵BC2=BD2+CD2≠BD2,
∴2AB2=BD2+CD2≠BD2,
∴BE2≠2(AD2+AB2),∴④错误.
故答案为①②③.
(2)①解:a、如图2中,当点E在AB上时,BE=AB﹣AE=2.
∵∠EAC=90°,
∴CE=,
同(1)可证△ADB≌△AEC.
∴∠DBA=∠ECA.
∵∠PEB=∠AEC,
∴△PEB∽△AEC.
∴,
∴
∴PB=.
b、如图中,当点E在BA延长线上时,BE=6.
∵∠EAC=90°,
∴CE=
同(1)可证△ADB≌△AEC.
∴∠DBA=∠ECA.
∵∠BEP=∠CEA,
∴△PEB∽△AEC,
∴,
∴,
∴PB=
综上,PB=或.
②解:如图中,以A为圆心AD为半径画圆,当CE在⊙A上方与⊙A相切时,PB的值最大.
理由:此时∠BCE最大,因此PB最大,(△PBC是直角三角形,斜边BC为定值,∠BCE最大,因此PB最大)
∵AE⊥EC,
∴EC=,
由(1)可知,△ABD≌△ACE,
∴∠ADB=∠AEC=90°,BD=CE=2,
∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°,
∴四边形AEPD是矩形,
∴PD=AE=2,
∴PB=BD+PD=2+2.
综上所述,PB长的最大值是2+2.
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【题目】已知∠AOB=100°,∠COD=40°,OE,OF分别平分∠AOD,∠BOD.
(1)如图1,当OA,OC重合时,求∠EOF的度数;
(2)若将∠COD的从图1的位置绕点O顺时针旋转,旋转角∠AOC=α,且0°<α<90°.
①如图2,试判断∠BOF与∠COE之间满足的数量关系并说明理由.
②在∠COD旋转过程中,请直接写出∠BOE,∠COF,∠AOC之间的数量关系.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,且AE=AB,将矩形沿直线EF折叠,点B恰好落在AD边上的点P处,连接BP交EF于点Q,对于下列结论:①EF=2BE;②PF=2PE;③FQ=4EQ;④△PBF是等边三角形.其中正确的是( )
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①④
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【题目】如图所示:有边长为a的正方形A类卡片、边长为b的正方形B类卡片、长和宽分别为a、b的长方形C类卡片各若干张,如果要拼一个边长分别为、的大长方形(不重叠无缝隙),那么需要A类卡片______张,B类卡片_______张,C类卡片______张,并请画出一种拼法.(每类卡片至少使用一张,并在画图时标注好每类卡片的类型及边长 )
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【题目】已知:一次函数y=﹣x+b的图象与x轴、y轴的交点分别为A、B与反比例函数的图象交于点C、D,且.
(1)求∠BAO的度数;
(2)求O到DC的距离.
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【题目】如图1,等腰△ABC中,AC=BC,点O在AB边上,以O为圆心的圆与AC相切于点C,交AB边于点D,EF为⊙O的直径,EF⊥BC于点G.
(1)求证:D是弧EC的中点;
(2)如图2,延长CB交⊙O于点H,连接HD交OE于点K,连接CF,求证:CF=OK+DO;
(3)如图3,在(2)的条件下,延长DB交⊙O于点Q,连接QH,若DO=,KG=2,求QH.
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【题目】为更新果树品种,某果园计划购进A,B两个品种的果树苗栽植培育.若计划购进这两种果树苗共45棵,其中A种树苗的单价为7元/棵,购买B种树苗所需费用y(元)与购买数量x(棵)之间存在如图所示的函数关系.求y与x的函数解析式.
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【题目】如图,以扇形OAB的顶点O为原点,半径OB所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,其中点B的坐标为(1,0),若抛物线y=x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点,则实数k的取值范围是_____.
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