Question

20．如图1，在平面直角坐标系中，有一矩形ABCD，其中三个顶点的坐标分别为A（3，0）、B（9，0）、C（9，3）．将直线l：y=-3x-3以每秒3个单位的速度向右运动，设运动时间为t秒．

（1）当t的值是几秒时，直线l经过点A．
（2）设直线l扫过矩形ABCD的面积为S，试求S＞0时S与t的函数关系式．
（3）在第一象限有一点M（5，5），在直线l出发的同时，点M以每秒2个单位的速度向右运动，如图2所示，则当t为何值时，点M与直线l的距离是3个单位？

Answer 1

分析 （1）先求得直线l与x轴的交点，当过点A时，则可求得移动的距离，可求得t的值；
（2）当直线EF过D、B、C点时，可求得相应的t的值，分$\frac{4}{3}$＜t≤$\frac{5}{3}$、$\frac{5}{3}$＜t≤$\frac{10}{3}$、$\frac{10}{3}$＜t＜$\frac{11}{3}$和t＞$\frac{11}{3}$四种情况，分别表示出所扫过的图形的面积即可；
（3）过M分别作MN⊥直线l于点N，作MG⊥x轴于点G，则可用t表示出M的坐标，从而可表示出EF的解析式，联立直线MN和EF的解析式，可用t表示出N点坐标，根据勾股定理可列出关于t的方程，可求得t的值．

解答 解：
（1）令y=0，则0=-3x-3，解得x=-1，
∴直线y=-3x-3与x轴的交点为（-1，0），
∵A（3，0），
∴3t=3-（-1），
解得t=$\frac{4}{3}$，即当t的值为$\frac{4}{3}$时直线l过点A；
（2）由题意可知D（3，3），
∴当直线l过点D时，则可知直线EF解析式为y=-3x+12，此时F（4，0），
此时3t=5，解得t=$\frac{5}{3}$，同理当直线EF过B点时可求得t=$\frac{10}{3}$，当直线EF过点C时t=$\frac{11}{3}$，
∴分$\frac{4}{3}$＜t≤$\frac{5}{3}$、$\frac{5}{3}$＜t≤$\frac{10}{3}$、$\frac{10}{3}$＜t≤$\frac{11}{3}$和t＞$\frac{11}{3}$四种情况，
①当$\frac{4}{3}$＜t≤$\frac{5}{3}$时，如图1，

直线y=-3x-3向右平移了3t个单位，则直线EF解析式为y=-3（x-3t）-3，
把x=3代入得y=9t-12，
∴AE=9t-12，
∵直线l平移到A点，距离为4，
∴AF=3t-4，
∴S=$\frac{1}{2}$AF•AE=$\frac{1}{2}$×（3t-4）（9t-12）=$\frac{27}{2}$t²-36t+24；   
②当$\frac{5}{3}$＜t≤$\frac{10}{3}$时，如图2，

∵直线EF为：y=-3（x-3t）-3，
∴与CD的交点坐标E（3t-2，3），与x轴的交点F（3t-1，0），
∴DE=3t-2-3=3t-5，AF=3t-1-3=3t-4，
∴S=$\frac{1}{2}$（3t-5+3t-4）×3=9t-$\frac{27}{2}$；
③当$\frac{10}{3}$＜t≤$\frac{11}{3}$时，如图3，

∵直线EF为：y=-3（x-3t）-3，
∴与CD的交点坐标E（3t-2，3），与x轴的交点F（3t-1，0），与BC的交点G（9，9t-30），
∴DE=3t-2-3=3t-5，AF=3t-1-3=3t-4，BF=3t-1-9=3t-10，
∴S=$\frac{1}{2}$（3t-5+3t-4）×3-$\frac{1}{2}$（3t-10）（9t-30）=-$\frac{27}{2}$t²+99t-$\frac{327}{2}$；
当t＞$\frac{11}{3}$时，直线l扫过矩形ABCD的面积为S为矩形ABCD的面积，即S=18；
综上可知S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{27}{2}{t}^{2}-36t+24（\frac{4}{3}＜t≤\frac{5}{3}）}\\{9t-\frac{27}{2}（\frac{5}{3}＜t≤\frac{10}{3}）}\\{-\frac{27}{2}{t}^{2}+99t-\frac{327}{2}（\frac{10}{3}＜t≤\frac{11}{3}）}\\{18（t＞\frac{11}{3}）}\end{array}\right.$；
（3）如图4，过M分别作MN⊥直线l于点N，作MG⊥x轴于点G，

∵直线EF为y=-3（x-3t）-3，M（2t+5，5），
∴设直线MN的解析式为：y=$\frac{1}{3}$x+b，
把M代入求得b=$\frac{10-2t}{3}$，
∴直线MN的解析式为y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{10-2t}{3}$，
直线EF与MN联立得，N（$\frac{29t-19}{10}$，$\frac{3t+27}{10}$）  
∵M与直线EF相距3个单位，
∴MN=3，
∴（2t+5-$\frac{29t-19}{10}$）²+（5-$\frac{3t+27}{10}$）²=3²，解得t=$\frac{23}{3}$+$\sqrt{10}$或t=$\frac{23}{3}$-$\sqrt{10}$，
∴当t的值为$\frac{23}{3}$+$\sqrt{10}$或$\frac{23}{3}$-$\sqrt{10}$，时直线l与M相距3个单位．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、直线的平移、函数图象的交点、勾股定理、方程思想及分类讨论思想．在（1）中求得直线l与x轴的交点是解题的关键，在（2）中用分四种情况分别用t表示出相应图形的面积是解题的关键，在（3）中用t分别表示出M、N的坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量较大，难度适中．