Question

1．在图1中，AP是⊙O的切线，作射线AO，交⊙O于B，过点P作PC⊥AO于点C，连接QC并延长交⊙O于点D，连接RD（如图2所示），试问RD与直线OA是否垂直？并说明理由．

Answer 1

分析 连接OR，OP，OD，由AP是⊙O的切线，得到∠APO=90°，通过△APC∽△AOP，由切割线定理得到AQ•AR=AC•AO，于是得到$\frac{AQ}{AO}=\frac{AC}{AR}$，于是推出△ACQ∽△ARO，证得∠AQC=∠AOR，即可得到结论．

解答 解：RD与直线OA垂直，
理由：连接OR，OP，OD，
∵AP是⊙O的切线，
∴∠APO=90°，
∵PC⊥AO，
∴△APC∽△AOP，
∴$\frac{AP}{AC}=\frac{AO}{AP}$，
∴AP²=AC•AO，
由切割线定理得：AP²=AQ•AR，
∴AQ•AR=AC•AO，
∴$\frac{AQ}{AO}=\frac{AC}{AR}$，
∵∠QAC=∠CAR，
∴△ACQ∽△ARO，
∴∠AQC=∠AOR，
∴∠RQD=∠BOR，
∴∠DOR=2∠RQD=2∠BOR，
∴∠BOR=∠BOD，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{BR}$，
∴OA⊥DR．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的性质，切割线定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．