Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，D是AB中点，等腰直角三角板的直角顶点落在点D上，使三角板绕点D旋转．
（1）如图1，当三角板两边分别交边AC、BC于F、E时，线段EF与AF、BE有怎样的关系并加以证明．
（2）如图1，设AF=x，四边形CEDF的面积为y．求y关于x的函数关系式，写出自变量x的取值范围．
（3）在旋转过程中，当三角板一边DM经过点C时，另一边DN交CB延长线于点E，连接AE与CD延长线交于H，如图2，求DH的长．

Answer 1

解：（1）线段EF与AF、BE的关系为：EF²=AF²+BE²．理由如下：
延长ED至DG，使DG=DE，连接AG，FG，如图1，
∵FD⊥GN，
∴FG=EF．
∵D是AB中点，
∴AD=BD，
∵∠ADG=∠EDB，
∴△BED≌△AGD，
∴AG=BE，∠GAD=∠B．
∵△ABC是直角三角形，
∴∠BAC+∠B=90°，
∴∠BAC+∠DAG=90°，
∴AG²+AF²=FG²．
∴EF²=AF²+BE²．

（2）作FR⊥AB，ES⊥AB，（如图3）
∴∠FRA=∠ESB=90°．
∵∠A=30°，
∴∠B=60°，
∴∠SEB=30°，
∴SB=BE，SE=SB．
∵在Rt△FCE中，由勾股定理，得，CF²+CE²=EF²，
∵EF²=AF²+BE²，
∴CF²+CE²=AF²+BE²，
∵∠A=30°，BC=2，
∴AB=4，AC=2，
∴CF=2-x，CE=2-BE．
∴（2-x）²+（2-BE）²=x²+BE²
∴BE=4-x，
∴SB=2-x，
∴SE=2-x，
∴y=×2×2-2×x•-×2×（2-x），
y=2-x-2+x，
y=x
当E点与C点重合时，ED=CD=2，DF=，则CF=，
∴x=；
当E点与B点重合时，AF=，
∴x的取值范围为：≤x≤

（3）作AP⊥MD，（如图2）
∴AP=，
∵CD=2，
∴DE=2，EC=4，
∴S_△AHC+_S△CHE=S_△AEC．
∴×CH+×CH×2=×4×2，
∴CH=，
∴DH=-2=

分析：（1）延长ED至DG，使DG=DE，连接AG，FG，证明△BED≌△AGD，可以得出∠GAD=∠B，AG=BE，由∠BAC+∠B=90°，得出∠GAF=90°，得出△GAF是直角三角形，∵MD⊥DN，GD=DE，得出FG=EF，由勾股定理就可以得出AG²+AF²=FG²，从而得出结论．
（2）作FR⊥AB，ES⊥AB分别于R、S，在Rt△ARF中由勾股定理可以表示出FR，从而可以表示出△FAD的面积，由勾股定理，得CF²+CE²=EF²，再由（1）的结论建立等量关系表示出BE，从而求出ES，就可以表示出△EDB的面积，进而可以表示出y的值．
（3）作AP⊥MD，交MD的延长线于点P，由条件可以求出AP=，DE=2，EC=4，可以求出△ACE的面积，然后用S_△AHC+_S△CHE=S_△AEC建立等量关系可以求出CH的值，再减去CD的值就求出了DH．
点评：本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的运用，含30°的直角三角形的性质．