Question

14．已知边长为6的正方形OABC在直角坐标系中，（如图）OA与y轴的夹角为30°．求点A、点B、点C的坐标．

Answer 1

分析 作AD⊥y轴于D，BE⊥y轴于E，CF⊥x轴于F，EB和FC交于点G，则四边形OEGF是矩形，EG=OF，由正方形的性质和已知条件得出AD=$\frac{1}{2}$OA=3，∠FOC=30°，得出OD=$\sqrt{3}$AD=3$\sqrt{3}$，CF=$\frac{1}{2}$OC=3，OF=$\sqrt{3}$CF=3$\sqrt{3}$，同理：BG=3，CG=3$\sqrt{3}$，求出EG、FG、BE，即可得出结果．

解答 解：作AD⊥y轴于D，BE⊥y轴于E，CF⊥x轴于F，EB和FC交于点G，如图所示：
则四边形OEGF是矩形，
∴EG=OF，
∵四边形OABC是正方形，∠AOE=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$OA=3，∠FOC=30°，
∴OD=$\sqrt{3}$AD=3$\sqrt{3}$，CF=$\frac{1}{2}$OC=3，
∴OF=$\sqrt{3}$CF=3$\sqrt{3}$，
同理：BG=3，CG=3$\sqrt{3}$，
∴EG=OF=3$\sqrt{3}$，FG=CG+CF=3$\sqrt{3}$+3，BE=3$\sqrt{3}$-3，
∴点A、点B、点C的坐标分别为（-3，-3$\sqrt{3}$）、（3$\sqrt{3}$-3，-3$\sqrt{3}$-3）、（3$\sqrt{3}$，-3）．

点评 本题考查了正方形的性质、坐标与图形性质、矩形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，作出辅助线是解决问题的关键．