Question

【题目】如图，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边的点D处，已知折痕BE=5，且，以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线l：y=－+c经过点E，且与AB边相交于点F．

（1）求证：△ABD∽△ODE；

（2）若M是BE的中点，连接MF，求证：MF⊥BD；

（3）P是线段BC上一点，点Q在抛物线l上，且始终满足PD⊥DQ，在点P运动过程中，能否使得PD=DQ？若能，求出所有符合条件的Q点坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）（﹣4，0）或（12，0）

【解析】

试题由折叠和矩形的性质可知∠EDB=∠BCE=90°，可证得∠EDO=∠DBA，可证明△ABD∽△ODE；由条件可求得OD、OE的长，可求得抛物线解析式，结合（1）由相似三角形的性质可求得DA、AB，可求得F点坐标，可得到BF=DF，又由直角三角形的性质可得MD=MB，可证得MF为线段BD的垂直平分线，可证得结论；过D作x轴的垂线交BC于点G，设抛物线与x轴的两个交点分别为M、N，可求得DM=DN=DG，可知点M、N为满足条件的点Q，可求得Q点坐标．

试题解析：（1）证明：∵四边形ABCO为矩形，且由折叠的性质可知△BCE≌△BDE，

∴∠BDE=∠BCE=90°，∵∠BAD=90°，∴∠EDO+∠BDA=∠BDA+∠DAB=90°，

∴∠EDO=∠DBA，且∠EOD=∠BAD=90°，∴△ABD∽△ODE；

（2）证明：∵，∴设OD=4x，OE=3x，则DE=5x，∴CE=DE=5x，∴AB=OC=CE+OE=8x，

又∵△ABD∽△ODE，∴，∴DA=6x，∴BC=OA=10x，

在Rt△BCE中，由勾股定理可得，即，解得x=1，

∴OE=3，OD=4，DA=6，AB=8，OA=10，∴抛物线解析式为y=﹣+3，

当x=10时，代入可得y=，∴AF=，BF=AB﹣AF=8﹣=，

在Rt△AFD中，由勾股定理可得DF= ∴BF=DF，

又M为Rt△BDE斜边上的中点，∴MD=MB，∴MF为线段BD的垂直平分线，∴MF⊥BD；

（3）解：由（2）可知抛物线解析式为y=﹣+3，设抛物线与x轴的两个交点为M、N，

令y=0，可得0=﹣+3，解得x=﹣4或x=12，∴M（﹣4，0），N（12，0），

过D作DG⊥BC于点G，如图所示，

则DG=DM=DN=8，∴点M、N即为满足条件的Q点，

∴存在满足条件的Q点，其坐标为（﹣4，0）或（12，0