如图1.在平面直角坐标系中.点A的坐标为.点B的坐标为(0.2)．(1)求直线AB的解析式,(2)以点A为直角顶点作∠CAD=90°.射线AC交x轴的负半轴于点C.射线AD交y轴的负半轴于点D．当∠CAD绕着点A旋转时.OC-OD的值是否发生变化?若不变.求出它的值,若变化.求出它的变化范围,和N(2.0)是x轴上的两个点.点P是直线AB上一点．当△PMN是直角三角形� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

3．如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-4，4），点B的坐标为（0，2）．

（1）求直线AB的解析式；
（2）以点A为直角顶点作∠CAD=90°，射线AC交x轴的负半轴于点C，射线AD交y轴的负半轴于点D．当∠CAD绕着点A旋转时，OC-OD的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，求出它的变化范围；
（3）如图2，点M（-4，0）和N（2，0）是x轴上的两个点，点P是直线AB上一点．当△PMN是直角三角形时，请求出满足条件的所有点P的坐标．

分析（1）设直线AB解析式为y=kx+b，把A与B坐标代入列出方程组，求出方程组的解得到k与b的值，即可确定出直线AB解析式；
（2）当∠CAD绕着点A旋转时，OC-OD的值不变，理由为：过A作AE垂直于x轴，AF垂直于y轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，求出A的坐标得到AE=AF，再由已知直角相等，利用ASA得到三角形AEC与三角形AFD全等，利用全等三角形对应边相等得到EC=FD，进而求出OC-OD的值即可；
（3）分三种情况考虑：①当M为直角顶点时；②N为直角顶点时；③P为直角顶点时；分别求出P坐标即可．

解答解：（1）设直线AB的解析式为：y=kx+b（k≠0），
∵点A（-4，4），点B（0，2）在直线AB上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=4}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$．
∴直线AB的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+2；
（2）不变．理由如下：
过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E，F（如答图），可得∠AEC=∠AFD=90°，
又∵∠BOC=90°，
∴∠EAF=90°，即∠DAE+∠DAF=90°，
∵∠CAD=90°，即∠DAE+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠DAF，
∵A（-4，4），
∴OE=AF=AE=OF=4，
在△AEC和△AFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAE=∠DAF}\\{AE=AF}\\{∠AEC=∠AFD=90°}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△AFD（ASA），
∴EC=FD，
∴OC-OD=（OE+EC）-（FD-OF）=OE+OF=8，
则OC-OD的值不发生变化，值为8；
（3）①当M为直角顶点时，点P的横坐标为-4，
∵点P在直线AB上，
将x=-4代入y=-$\frac{1}{2}$x+2得，y=4，
∴点P的坐标为P（-4，4）；
②当N为直角顶点时，点P的横坐标为2，
∵点P在直线AB上，
将x=2代入y=-$\frac{1}{2}$x+2得，y=1，
∴点P的坐标为P（2，1）；
③当P为直角顶点时，
∵点P在直线AB上，可设点P的坐标为（x，-$\frac{1}{2}$x+2），
则MP²=（x+4）²+（-$\frac{1}{2}$x+2）²，NP²=（x-2）²+（-$\frac{1}{2}$x+2）²，
在Rt△PMN中，MP²+NP²=MN²，MN=6，
∴（x+4）²+（-$\frac{1}{2}$x+2）²+（x-2）²+（-$\frac{1}{2}$x+2）²=6²，
解得：x₁=-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，x₂=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴P（-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$+2）或（$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$+2），
综上所述，满足条件的所有点P的坐标为（-4，4）或（2，1）或（-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$+2）或（$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$+2）．

点评此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．

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