Question

如图，一次函数y=-

3

2

x+6的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．线段AB的中点P在反比例函数y=

k

x

的图象上．
（1）求k的值；
（2）若一次函数y=mx+n的图象与y=

k

x

的图象有且只有一个第三象限的公共点Q，且与x轴、y轴分别交于C、D两点，试判断AD，BC的位置关系．
（3）求四边形ABCD的最小面积．

Answer 1

考点：反比例函数综合题,根的判别式,平行线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：综合题,配方法

分析：（1）可先求出点A、B的坐标，再求出线段AB的中点P的坐标，然后把点P的坐标代入y=

k

x

就可求出k；
（2）可先求出点C、D的坐标（用m、n的代数式表示），然后根据两个函数图象在第三象限只有一个公共点，运用根的判别式可得到n²=-24m，从而可得到OC•OD=24=OA•OB，从而可证到△AOD∽△COB，则有∠ADO=∠CBO，从而可得AD∥BC；
（2）易得S_{四边形ABCD}=

1

2

AC•BD=

1

2

（4+

n

m

）（6-n），然后把m=-

n2

24

代入，就可得到S_{四边形ABCD}与n的关系，然后只需运用配方法即可解决问题．

解答：解：（1）对于一次函数y=-

3

2

x+6，
当x=0时，y=-

3

2

×0+6=6，则有B（0，6），OB=6；
当y=0时，-

3

2

x+6=0，解得x=4，则有A（4，0），OA=4．
∴线段AB的中点P坐标为（

4+0

2

，

0+6

2

）即（2，3）．
∵P在反比例函数y=

k

x

的图象上，
∴k=xy=2×3=6，
∴k的值为6；

（2）对于一次函数y=mx+n，
当x=0时，y=m×0+n=n，则有D（0，n），OD=-n；
当y=0时，mx+n=0，解得x=-

n

m

，则有C（-

n

m

，0），OC=

n

m

．
∵一次函数y=mx+n的图象与y=

6

x

的图象有且只有一个第三象限的公共点Q，
∴方程mx+n=

6

x

即mx²+nx-6=0有两个相等的实数根，
∴n²-4×m×（-6）=n²+24m=0，
∴n²=-24m，
∴OC•OD=

n

m

×（-n）=-

n2

m

=24．
∵OA•OB=4×6=24，
∴OA•OB=OC•OD，
∴

OA

OC

=

OD

OB

．
∵∠AOD=∠COB=90°，
∴△AOD∽△COB，
∴∠ADO=∠CBO，
∴AD∥BC，
∴AD与BC的位置关系是AD∥BC；

（3）S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ADC=

1

2

AC•OB+

1

2

AC•OD=

1

2

AC•BD
=

1

2

×[4-（-

n

m

）]×[6-n]=

1

2

（4+

n

m

）（6-n）
=

1

2

（24-4n+

6n

m

-

n2

m

）=

1

2

（24-4n+

6n

- n2 24

-

-24m

m

）
=

1

2

（24-4n-

144

n

+24）
=24-2n-

72

n

=24+2[（

-n

）²+（

6

-n

）²]
=24+2[（

-n

-

6

-n

）²+12]
=24+2（

-n

-

6

-n

）²+24
=48+2（

-n

-

6

-n

）²，
∴当

-n

=

6

-n

即n=-6时，S_{四边形ABCD}取到最小值48．
∴四边形ABCD的最小面积为48．

点评：本题主要考查了直线与反比例函数图象上点的坐标特征、用待定系数法求k的值、根的判别式、相似三角形的判定与性质、平行线的判定、中点坐标公式等知识，运用根的判别式得到n²=-24m，从而得到OC•OD=OA•OB是解决第（2）小题的关键，运用割补法及配方法是解决第（3）小题的关键．