Question

如图1和图2，∠ACB=90°，AC=BC，BD⊥DE，AE⊥DE，足分别为D、E．

（1）图1中，证明：△ACE≌△CBD；
（2）图2中，若AE=2，BD=4，计算DE的长．

Answer 1

分析：（1）如图1，根据垂直的定义和同角的余角相等得到∠E=∠D=90°，∠1=∠2，则结合已知条件AC=BC由AAS证得：△ACE≌△CBD；
（2）如图2，同（1），证得△ACE≌△CBD，则根据全等三角形的对应边相等推知：CE=BD=4，AE=CD=2，故DE=CE-CD=4-2=2．

解答：（1）证明：如图1，∵BD⊥DE，AE⊥DE，
∴∠E=∠D=90°．
又∵∠ACB=90°，
∴∠1=∠2，
∴在△ACE与△CBD中，

∠E=∠B ∠1=∠2 AC=BC

，
∴△ACE≌△CBD（AAS）；

（2）解：如图2，同（1），证得△ACE≌△CBD，则
∴CE=BD=4，AE=CD=2，
∴DE=CE-CD=4-2=2．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．