Question

关于x的一元二次方程x²-x+p-1=0有两个实数根x₁、x₂．
（1）求p的取值范围；
（2）若，求p的值．

Answer 1

解：（1）∵方程x²-x+p-1=0有两个实数根x₁、x₂，
∴△≥0，即1²-4×1×（p-1）≥0，解得p≤，
∴p的取值范围为p≤；
（2）∵方程x²-x+p-1=0有两个实数根x₁、x₂，
∴x₁²-x₁+p-1=0，x₂²-x₂+p-1=0，
∴x₁²-x₁=-p+1=0，x₂²-x₂=-p+1，
∴（-p+1-2）（-p+1-2）=9，
∴（p+1）²=9，
∴p₁=2，p₂=-4，
∵p≤，
∴p=-4．
分析：（1）根据一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac的意义得到△≥0，即1²-4×1×（p-1）≥0，解不等式即可得到p的取值范围；
（2）根据一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的解的定义得到x₁²-x₁+p-1=0，x₂²-x₂+p-1=0，则有x₁²-x₁=-p+1=0，x₂²-x₂=-p+1，然后把它们整体代入所给等式中得到（-p+1-2）（-p+1-2）=9，解方程求出p，然后满足（1）中的取值范围的p值即为所求．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的解的定义．