Question

15．已知A（-3，0），B（1，0），C点与A点关于直线y=-x对称，抛物线y=ax²+bx+c过A、B、C三点．
（1）求抛物线的解析式，并求抛物线顶点D的坐标；
（2）判断△ACD的形状．

Answer 1

分析 （1）先利用关于直线y=-x对称的点的坐标特征得到C（0，3），设交点式y=a（x+3）（x-1），然后把C点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式，再把一般式配成顶点式可得D点坐标；
（2）先利用两点间的距离公式计算出AD、CD、AC，然后利用勾股定理的逆定理判断△ADC的现状．

解答 解：（1）∵C点与A点关于直线y=-x对称，
∴C（0，3），
设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-1），
把C（0，3）代入得a•3•（-1）=3，解得a=-1，
所以抛物线解析式为y=-（x+3）（x-1），
即y=-x²-2x+3；
∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴抛物线顶点D的坐标为（-1，4）；
（2）∵AC²=3²+3²=18，DC²=1²+（4-3）²=2，AD²=（-1+3）²+4²=20，
∴AC+DC²=AD²，
∴△ACD为直角三角形．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．