Question

12．如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和C的距离分别为1，2，3，将△ABP绕点B旋转至△CBP′，连接PP′．
（1）求证：△BPP′是等腰直角三角形；
（2）求∠APB的度数．

Answer 1

分析 （1）由旋转的性质得出△ABP≌△CBP′，得出∠PBP′=∠ABC=90°，BP=BP′=2，P′C=AP=1，即可得出结论；
（2）连接PC，由等腰三角形的性质得出∠BP′P=45°，由勾股定理求出PP′，由勾股定理的逆定理证出△BP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵将△ABP绕点B旋转至△CBP′，
∴△ABP≌△CBP′，
∴∠PBP′=∠ABC=90°，BP=BP′=2，P′C=AP=1，∠APB=∠BP′C
∴△BPP′为等腰直角三角形；
（2）解：连接PC，如图所示：
由（1）得：△BPP′为等腰直角三角形，
∴∠BP′P=45°，PP′=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵PP′²+P′C²=8+1=9=PC²，
∴△BP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，
∴∠APB=∠BP′C=90°+45°=135°．

点评 本题考查了正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理；熟练掌握正方形和旋转的性质，证明△BP′C是直角三角形是解决问题（2）的关键．