Question

如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判断△ABC的形状并证明你的结论；
（2）当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由．

Answer 1

解：（1）△ABC是等边三角形．
证明：∵∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠CPB=60°，
∴△ABC是等边三角形．

（2）当点P位于中点时，四边形PBOA是菱形．
连接OP，∵∠AOB=2∠ACB=120°．
P是的中点，∴∠AOP=∠BOP=60°
又∵OA=OP=OB，
∴△OAP和△OBP均为等边三角形．
∴OA=AP=OB=PB，
∴四边形PBOA是菱形．
分析：（1）可通过证明三角形的内角都是60°来得出结论，思路是通过等弧所对的圆周角相等来得出三角形内的其中两个内角为60°来证得．
（2）当点P位于中点时，四边形PBOA是菱形，通过证明△OAP和△OBP均为等边三角形，知OA=AP=OB=PB，∴四边形PBOA是菱形．
点评：本题考查了圆周角定理，垂径定理等综合知识的应用，根据圆周角定理得出等边三角形是本题解题的关键．