如图.平面直角坐标系中.△AOB为等腰直角三角形.且OA=AB．(1)如图.在图中画出△AOB关于BO的轴对称图形△A1OB.若A.请求出A1点的坐标:(2)当△AOB绕着原点O旋转到如图所示的位置时.AB与y轴交于点E.且AE=BE．AF⊥y轴交BO于F.连接EF.作AG∥EF交y轴于G．试判断△AGE的形状.并说明理由,(3)当△AOB绕着原点O� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，且OA=AB．
（1）如图，在图中画出△AOB关于BO的轴对称图形△A₁OB，若A（-3，1），请求出A₁点的坐标：

（2）当△AOB绕着原点O旋转到如图所示的位置时，AB与y轴交于点E，且AE=BE．AF⊥y轴交BO于F，连接EF，作AG∥EF交y轴于G．试判断△AGE的形状，并说明理由；

（3）当△AOB绕着原点O旋转到如图所示的位置时，若A（

，3），C为x轴上一点，且OC=OA，∠BOC=15°，P为y轴上一点，过P作PN⊥AC于N，PM⊥AO于M，当P在y轴正半轴上运动时，试探索下列结论：①PO+PN-PM不变，②PO+PM+PN不变．其中哪一个结论是正确的？请说明理由并求出其值．

分析：（1）过点A作AA₁⊥BO，且BO为AA₁的中垂线，连接A₁B，A₁O即可；证明△ACO≌△ODA₁，可求得A₁的坐标；
（2）过B作BH⊥AB于B交AF的延长线于H，由∠OAE=∠ABH=90°，∠AOE=∠BAH=90°-∠OAH，OA=AB，易得△AEO≌△BHA，则AE=BH=BE，∠AEO=∠BHA；又∠EBF=∠HBF=45°，BF=BF，可证△BEF≌△BHF（SAS），∴∠BHF=∠BEF，再由AG∥EF，易得∠EAG=∠AEG，则AG=EG；
（3）过A作AL⊥x轴于L，连接AP、PC，易得AL=3，再由∠AOC=45°+15°=60°，OC=OA，可得△AOC为等边三角形，因为S_△POC=

PO•OC，S_△PAC=

PN•AC，S_△POA=

PM•OA，S_△AOC=

AL•OC，且S_△AOC=S_△POC+S_△PAC-S_{△POA，代入易得}PO+PN-PM=AL=3．

解答：

（1）解：如图所示：△A₁OB为所画的轴对称图形（1分）
过A作AC⊥x轴于C，A₁D⊥x轴于D，
∵A（-3，1），
∴AC=1，OC=3，
∵OA=AB，∠BAO=90°，
∴∠BOA=45°，
∴∠BOA₁=45°，
∴∠AOA₁=90°，
∴∠AOC+∠A₁OD=90°，
又∵∠AOC+∠OAC=180°-∠ACO=90°，
∴∠CAO=∠A₁OD，
又∵∠ACO=∠ODA₁=90°，AO=A₁O，
∴△ACO≌△ODA₁（3分）
∴AC=OD=1，OC=A₁D=3，
∴A₁，（1，3）（4分）

（2）

△AEG为等腰三角形（5分）
证明：过B作BH⊥AB于B交AF的延长线于H，
∵∠OAE=∠ABH=90°，∠AOE=∠BAH=90°-∠OAH，OA=AB，
∴△AEO≌△BHA（6分）
∴AE=BH=BE，∠AEO=∠BHA，
又∵∠EBF=∠HBF=45°，BF=BF，
∴△BEF≌△BHF（SAS）
∴∠BHF=∠BEF（7分）
∵AG∥EF
∴∠EAG=∠BEF
∴∠EAG=∠AEG
∴AG=EG
即△AEG为等腰三角形（8分）

（3）

PO+PN-PM=3不变，
解：过A作AL⊥x轴于L，连接AP、PC（9分）
∵A（

，3）
∴AL=3（（10分））
∵∠AOC=45°+15°=60°，OC=OA，
∴△AOC为等边三角形，
∵S_△POC=

PO•OC，
S_△PAC=

PN•AC，
S_△POA=

PM•OA，
S_△AOC=

AL•OC，（11分）
且S_△AOC=S_△POC+S_△PAC-S_△POA，
∴S_△AOC=

AL•OC=

PO•OC+

PN•AC-

PM•OA，
∴PO+PN-PM=AL=3（12分）．

点评：本题综合性强，综合考查了轴对称的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定、三角形的面积等知识点，难度较大，作辅助线是关键，同时注意充分利用已知条件．

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