Question

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，P为BC所在直线上一点，D为AB所在直线上一点，操作：当PA=PD时，过点D作BC所在直线的垂线，垂足为E．

（1）猜测线段PE与线段BC的数量关系；
（2）请你利用图②，图③，选择不同位置的点P、D按上述方法操作；
（3）经历（2）之后，如果认为你猜测的结论是正确的，请加以证明；如果认为你猜测的结论是错误的，请说明理由．

Answer 1

解：（1）如图，过点A作AM⊥BC，垂足为M，
∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=45°，
∵PA=PD，∴∠BAP=∠PDB，
∵DE⊥BC，∴∠BDE=∠EBD=45°，
∴∠APM=∠PDE，
∴△PDE≌△APM，∴PM=DE，
∵ED=BE，∴PM=BE，
∴PE=BM=BC；

（2）如图，点P在CB的延长线上，
当点P分别放在点P在BC的延长线上时不成立；

（3）当点P分别放在点P在CB的延长线上，
如（2）中图，如图，过点A作AM⊥BC，垂足为M，
∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=45°，
∵PA=PD，∴∠BAP=∠PDB，
∵DE⊥BC，∴∠BDE=∠EBD=45°，
∴∠APM=∠PDE，
∴△PDE≌△APM，∴PM=DE，
∵ED=BE，∴PM=BE，
∴PE=BM=BC；
此时成立，
当点P分别放在点P在BC的延长线上时，
∵PA=PD，∴∠BAP=∠PDB，
∵∠BAP=∠PDB＞90°，
∴由三角形的内角和定理得，
当点P分别放在点P在BC的延长线上时不成立．
分析：（1）过点A作AM⊥BC，垂足为M，可证明△PDE≌△APM，则PM=DE，根据题意得△BDE是等腰直角三角形，从而得出PE的长即为BM的长，再由等腰三角形的性质得出PE是BC的一半；
（2）再把点P分别放在点P在CB的延长线上和BC的延长线上；
（3）当点P分别放在点P在CB的延长线上（1）中的结论仍成立，当点P分别放在点P在BC的延长线上时不成立，按上述操作，证明当点P分别放在点P在CB的延长线上△PDE≌△APM，PE是BC的一半．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，是一道综合题难度较大．