【题目】如图,△ABC为等边三角形,点D、E分别在AC、AB上,且AD=BE,连接BD、CE交于点P,在△ABC外部作∠ABF=∠ABD,过点A作AF⊥BF于点F,若∠ADB=∠ABF+90°,BF﹣AF=3,则BP=_____.
【答案】3﹣
【解析】
如图,在FB上取一点G,使得FG=FA,作GF⊥AB于F,在FB上取一点H,使得GH=HB,连接GH,在FB上取一点K,使得∠BAK=45°,连接AK.证明△CBE≌△BAD(SAS),推出∠ABE=∠BCE,推出∠DPC=∠PCB+∠PBC=∠PBC+∠ABD=60°,由∠ADB=∠ABF+90°=∠DCB+∠DBC=60°+60°﹣∠BCP=120°﹣∠ABF,可得∠ABF=15°,解直角三角形求出AK,再证明BP=AK即可解决问题.
解:如图,在FB上取一点G,使得FG=FA,作GT⊥AB于T,在FB上取一点H,使得GH=HB,连接GH,在FB上取一点K,使得∠BAK=45°,连接AK.
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC,
∠CBE=∠BAD=60°,
∵AD=BE,
∴△CBE≌△BAD(SAS),
∴∠ABE=∠BCE,
∴∠DPC=∠PCB+∠PBC=∠PBC+∠ABD=60°
∵∠ADB=∠ABF+90°=∠DCB+∠DBC=60°+60°﹣∠BCP=120°﹣∠ABF,
∴∠ABF=15°,
∵HG=HB,
∴∠HGB=∠HBG=15°,
∴∠GHT=∠HGB+∠HBG=30°,设GT=a,则GH=BH=2a,TH=a,
∵BF﹣AF=3,FA=FG,
∴BG=3,
在Rt△BGT中,∵BG2=GT2+BT2,
∴a2+(2a+a)2=9,
解得a=,
∴TG=,AG=2TG=
,
∴AF=FG=,
∴AK=,
∵∠BCP=∠ABK,BC=BA,∠CBP=45°=∠BAK,
∴△BCP≌△BAK(ASA),
∴BP=CK=3﹣.
故答案为:3﹣;
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【题目】某商场一种商品的进价为每件30元,售价为每件40元,每天可以销售48件,为尽快减少库存,商场决定降价促销.
(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元,求两次下降的百分率;
(2)经调査,若该商品每降价0.5元,每天可多销售4件,那么每天要想获得510元的利润且尽快减少库存,每件应降价多少元?
(3)在(2)的条件下,每件商品的售价为多少元时,每天可获得最大利润?最大利润是多少元?
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【题目】要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端安一个喷头,使喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离中心3m.
(1)在给定的坐标系中画出示意图;
(2)求出水管的长度.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知点A(1,0),B(1﹣a,0),C(1+a,0)(a>0),点P在以D(4,4)为圆心,1为半径的圆上运动,且始终满足∠BPC=90°,则a的最大值是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
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【题目】如图,过y轴上任意一点P,作x轴的平行线,分别与反比例函数和
的图象交于A点和B点,若C为x轴上任意一点,连接AC,BC,则△ABC的面积为( )
A.3B.4C.5D.6
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【题目】如图,在平面直角坐标中,一次函数y=﹣4x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点.正方形ABCD的顶点C、D在第一象限,顶点D在反比例函数(k≠0)的图象上.若正方形ABCD向左平移n个单位后,顶点C恰好落在反比例函数的图象上,则n的值是_____.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,以坐标原点O为圆心,2为半径画,P是
上一动点,且P在第一象限内,过点P作
的切线与x轴相交于点A,与y轴相交于点B.在
上存在点Q,使得以Q、O、A、P为顶点的四边形是平行四边形,请写出Q点的坐标_________.
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【题目】已知AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E.
(1)如图①,若CD=8,BE=2,求⊙O的半径;
(2)如图②,点G是上一点,AG的延长线与DC的延长线交于点F,求证:∠AGD=∠FGC.
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【题目】为了考察某校300名初中毕业生的身高状况,从中抽出了10名学生,测得身高分别为(单位:cm):165,170,160,150,180,170,165,165,155,150;在这个问题的下列叙述中,错误的是( )
A.300名学生的身高是总体
B.这300名学生的平均身高估计是163(cm)
C.这10名学生身高的众数和中位数是165(cm)
D.这10名学生的身高是样本容量
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