Question

在直角坐标系中，点A、B坐标分别为：（1，4）、（3，-2），在x轴上找一点P，使x轴平分∠APB．
（1）用圆规和直尺画图，找出P点的位置，保留作图痕迹；
（2）求点P的坐标；
（3）过点P的二次函数图象的对称轴过点A，与x轴的另一交点为Q，与y轴的交点为C，当△PQC为直角三角形时，求这个二次函数的关系式．

Answer 1

解：（1）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′并延长交x轴于点P

（2）设以直线AB′为图象的一次函数关系式为y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）
∵点A、B′坐标分别为：（1，4）、（3，2）将x、y的值分别代入以上函数关系式得，
，
解得，k=-1，b=5即函数解析式为：y=-x+5，
当y=0时，x=5，
∴P点坐标为（5，0）；

（3）由题意知，只有∠PCQ=90°，
∵△COQ∽△POC，
∴OC²=QO•PO，
则OC²=3×5=15，OC=，
设抛物线方程为：y=a（x+3）（x-5），
∴y=a（x²-2x-15），
当x=0时，y=OC=，
∴-15a=，
解得，a=±，
∴y=x²-x-或y=-x²+x+．
分析：（1）找出B点关于x轴的对称点B′，P是AB′与x轴交点；
（2）先求AP的一次函数解析式，再求当y=0时x的值，即P点坐标；
（3）先根据直角三角形的性质和相似求出OC的长度，再根据P点和与其对称的点的坐标列出函数解析式，将OC代入求出自变量，即得到解析式．
点评：此题是二次函数的综合试题，其中渗透了对称和直角三角形的性质和三角形相似，在找C点时注意有两种情况，所以函数解析式也有两种．