Question

如图，在⊙O中，AB是直径，AD是弦，∠ADE=60°，∠C=30°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）作AQ⊥EC于点Q，若AQ=10，试求点D到AC的距离．

Answer 1

解：（1）连接OD，
∵∠ADE=∠DAC+∠C，
又∠ADE=60°，∠C=30°，
∴∠DAC=30°，
∵OD=OA，
∴∠DAC=∠ODA=30°，
又∠ADE=60°，
∴∠ODE=∠ODA+∠ADE=30°+60°=90°，
即OD⊥DC，
∴CD是⊙O的切线；

（2）作DH⊥AC于H，
∵AQ⊥EC，
∴∠AQD=90°，
∴∠QAD=30°，
由（1）得：∠DAC=30°，
∴∠QAD=∠DAC，即DA平分∠QAC，
又∵AQ⊥EC，
∴DH=DQ，
在Rt△AQD中，设DQ=x，则AD=2x，于是10²+x²=4x²，
解得x=，
即点D到AC的距离为．
分析：（1）连接OD，根据三角形外角的性质可得∠ADE=∠DAC+∠C，易求∠DAC=30°，而OD=OA，可得∠DAC=∠ODA=30°，从而可求∠ODE=90°，易证CD是⊙O的切线；
（2）作DH⊥AC于H，根据（1）可知∠DAC=30°，而易求∠QAD=30°，易知AD是∠QAC的角平分线，而D再角平分线上，故DH=DQ，在Rt△AQD中，利用30°的角所对的边等于斜边的一半，结合勾股定理易求DQ，从而可求DH．
点评：本题考查了切线的判定、角平分线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，解题的关键是利用三角形外角性质求出∠DAC=30°．