Question

如图1，已知点A（2，0），B（0，4），∠AOB的平分线交AB于C，一动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿y轴向点B作匀速运动，过点P且平行于AB的直线交x轴于Q，作P、Q关于直线OC的对称点M、N．设P运动的时间为t（0＜t＜2）秒．
（1）求C点的坐标，并直接写出点M、N的坐标（用含t的代数式表示）；
（2）设△MNC与△OAB重叠部分的面积为S．
①试求S关于t的函数关系式；
②在图2的直角坐标系中，画出S关于t的函数图象，并回答：S是否有最大值？若有，写出S的最大值；若没有，请说明理由．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：代数几何综合题,压轴题

分析：（1）如答图1，作辅助线，由比例式求出点D的坐标；
（2）①所求函数关系式为分段函数，需要分类讨论．
答图2-1，答图2-2表示出运动过程中重叠部分（阴影）的变化，分别求解；
②画出函数图象，由两段抛物线构成．观察图象，可知当t=1时，S有最大值．

解答：解：（1）如答图1，过点C作CF⊥x轴于点F，CE⊥y轴于点E，
由题意，易知四边形OECF为正方形，设正方形边长为x．

∵CE∥x轴，
∴

BE

OB

=

CE

OA

，即

4-x

4

=

x

2

，解得x=

4

3

．
∴C点坐标为（

4

3

，

4

3

）；
∵PQ∥AB，
∴

OP

OB

=

OQ

OA

，即

OP

4

=

OQ

2

，
∴OP=2OQ．
∵P（0，2t），
∴Q（t，0）．
∵对称轴OC为第一象限的角平分线，
∴对称点坐标为：M（2t，0），N（0，t）．

（2）①当0＜t≤1时，如答图2-1所示，点M在线段OA上，重叠部分面积为S_△CMN．

S_△CMN=S_{四边形CMON}-S_△OMN
=（S_△COM+S_△CON）-S_△OMN
=（

1

2

•2t×

4

3

+

1

2

•t×

4

3

）-

1

2

•2t•t
=-t²+2t；
当1＜t＜2时，如答图2-2所示，点M在OA的延长线上，设MN与AB交于点D，则重叠部分面积为S_△CDN．
设直线MN的解析式为y=kx+b，将M（2t，0）、N（0，t）代入得

2tk+b=0 b=t

，
解得

k=- 1 2 b=t

，
∴y=-

1

2

x+t；
同理求得直线AB的解析式为：y=-2x+4．
联立y=-

1

2

x+t与y=-2x+4，求得点D的横坐标为

8-2t

3

．
S_△CDN=S_△BDN-S_△BCN
=

1

2

（4-t）•

8-2t

3

-

1

2

（4-t）×

4

3

=

1

3

t²-2t+

8

3

．
综上所述，S=

-t2+2t(0＜t≤1) 1 3 t2-2t+ 8 3 (1＜t＜2)

．
②画出函数图象，如答图2-3所示：

观察图象，可知当t=1时，S有最大值，最大值为1．

点评：本题是运动型综合题，涉及二次函数与一次函数、待定系数法、相似、图形面积计算、动点问题函数图象等知识点．难点在于第（2）问，正确地进行分类讨论，是解决本题的关键．