Question

如图所示，正方形ABCD中，E为AD的三等分点，且AE=AD，G为DC上一点，且DG：GC=2：7，那么BE与EG垂直吗？请说明你的理由．

Answer 1

垂直．
证明：设正方形ABCD的边长为9x，
∵E为AD的三等分点，且AE=AD，
∴AE=3x，
∵DG：GC=2：7，
∴DG=×9x=2x，CG=7x，
在Rt△AEB中，
∵AB=9x，AE=3x，
∴BE²=AB²+AE²=（9x）²+（3x）²=90x²；
同理可得，EG²=ED²+DG²=（6x）²+（2x）²=40x²；
BG²=BC²+CG²=（9x）²+（7x）²=130x²；
∵90x²+40x²=130x²，即BE²+EG²=BG²，
∴△BEG是直角三角形，且∠BEG=90°，
∴BE⊥EG．
分析：设正方形ABCD的边长为9x，由E为AD的三等分点，且AE=AD，且DG：GC=2：7可知，AE=3x，DG=×9x=2x，CG=7x，再根据勾股定理用x表示出BE²、EG²及BG²的值，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可．
点评：本题考查的是勾股定理的逆定理，解答此题的关键是作出辅助线，构造出三角形，再根据勾股定理的逆定理进行判断．