Question

6．已知关于x的方程（1）x²-（1-2a）x+a²-3=0有两个不相等的实数根，且关于x的方程（2）x²-2x+2a-1=0没有实数根，问a取什么整数时，方程（1）有整数解．

Answer 1

分析 若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b²-4ac＞0，建立关于a的不等式，求出a的取值范围；关于x的方程②x²-2x+2a-1=0没有实数根，则根的判别式△=b²-4ac＜0，建立关于a的不等式，求出a的取值范围；解关于a的不等式组，再求a的范围．

解答 解：∵方程①有两个不相等的实数根，
∴△=b²-4ac=[-（1-2a）]²-4×（a²-3）=13-4a＞0，
解得：a＜$\frac{13}{4}$，
又∵方程②没有实数根，
∴△=b²-4ac=（-2）²-4×1×（2a-1）=8-8a＜0，
解得：a＞1，
∴a取的整数值有2，3，
当a=2时，方程①变为x²+3x+1=0，无整数实根；
当a=3时，方程②变为x²+5x+6=0，有整数实根．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．