Question

【题目】已知，四边形ABCD是正方形，∠MAN＝90°，将∠MAN绕顶点A旋转，旋转角为∠DAM（0°＜∠DAM＜45°），AM交CD于点E，∠MAN的平分线与CB交于点G

（1）证明：如图1，连接GE．求证：GE＝DE+BG；

（2）探究：如图2，设AN交CB的延长线于点F，直线EF分别交AG，AB于点P，H．探究GH与AE的位置关系，并证明你的结论；

（3）应用：在图2中，若正方形的边长为6，BG＝2，求GH的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）GH∥AE，证明见解析；（3）

【解析】

（1）延长CB交AN于点F，通过证△DAE≌△BAF和△EAG≌△FAG从而证得结论；（2）首先证明△PAH≌△PFG ．则PH＝PG ，从而∠PGH＝45°. 又因为AP＝EP，∠APE＝90°． 所以∠PAE＝45°．证得∠PGH＝∠PAE，再根据平行线的判定得到GH∥AE；（3）设DE＝，则CG＝4，CE＝6－，GE＝GF＝2＋．在Rt△CEG中通过勾股定理求出x的值.再证△FBH∽△FCE，根据相似的性质即可求出BH的长，再在Rt△GBH中通过勾股定理求出GH的长.

（1）证明：延长CB交AN于点F，

∵ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝∠D＝∠ABF＝90°．

∵∠MAN＝90°，∴∠DAB＝∠MAN．

∴∠DAB－∠EAB＝∠MAN－∠EAB即：∠DAE＝∠BAF．

∴△DAE≌△BAF．∴AE＝AF．

又AG＝AG，∠EAG＝∠FAG．

∴△EAG≌△FAG ．∴GE＝GF．

而GF＝BG+BF＝BG+DE

∴GE＝BG+DE．

（2）解： GH∥AE，证明如下：

∵AE＝AF，AG平分∠EAF∴AG⊥EF，EP＝FP．

∴∠APH＝∠FPG＝∠APE＝90°，AP＝EF＝EP＝FP

∴∠PFG+∠PGF＝90又∵∠ABG＝90°，∴∠PAH+∠PGF＝90°．∴∠PAH＝∠PFG．

∴△PAH≌△PFG ．∴PH＝PG ．∴∠PGH＝45°．

∵AP＝EP，∠APE＝90°． ∴∠PAE＝45°．

∴∠PGH＝∠PAE．∴GH∥AE．

（3）连接GE，由（1）知GE＝GF，DE＝BF．

设DE＝，因为正方形边长为6，BG＝2，

∴CG＝4，CE＝6－，GE＝GF＝2＋．

在Rt△CEG中，CE2+CG2＝GE2，

∴

解得，即：DE＝BF＝3 ．

∴CE＝6－3＝3，CF＝6+3＝9 ．

∵BH∥CE ∴△FBH∽△FCE ∴．

∴BH＝1

∵∠GBH＝90° ∴GH＝ ．