Question

16．已知如图，BC是圆O直径，BE是圆O的切线，切点为B，OE平行于弦CD，ED，BC的延长线交于点A，若AC=1，且AC，AD的长是关于x的方程x²-mx+2=0的两个根
（1）证明：AE是圆O的切线；
（2）求线段BE的长；
（3）求tan∠ADC的值．

Answer 1

分析 （1）如图由BC是⊙O直径，BE是⊙O的切线，得到∠EBO=90°根据平行线和等腰三角形的性质，得到∠1=∠4，通过全等三角形证得．
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系，求得AD的长，由切割线定理求出AB的长，根据勾股定理列方程求得；
（3）由切割线定理求得AB的长，得到圆的直径，然后在Rt△ABE中，根据勾股定理求出BE的长，则RECOD中，即可求得∠OED的正切值，由于∠ADC=∠OED，由此可求出∠ADC的正切值．

解答 解：（1）证明：如图，
∵BC是⊙O直径，BE是⊙O的切线，
∴∠EBO=90°，
∵OE∥CD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵OD=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠4，
在△DOE与△BOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OB}\\{∠1=∠4}\\{OE=OE}\end{array}\right.$，
∴△DOE≌△BOE（SAS），
∴∠ODE=∠B=90°，
∴AE⊥OD，
∴AE是⊙O的切线；

（2）∵AC，AD的长是关于X的方程x²-mx+2=0的两个根，AC=1，
∴AD=2，
由切割线定理得：AD²=AC•AB，
∴AB=4，
由（1）证得△DOE≌△BOE，
∴BE=DE，
∴BE²+4²=（2+BE）²，
∴BE=3；

（3）∵AB=4，AC=1，
∴BC=3，
∵CD∥OE，
∴∠ADC=∠AEO，
∴tan∠ADC=tan∠AEO=$\frac{OD}{DE}$=$\frac{\frac{3}{2}}{3}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查了切线的性质、平行线的判定、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，关键是（3）要找到∠ADC的等角．