Question

5．如图，已知A（-4，n），B（4-n，-4）是直线y=kx+b和双曲线y=$\frac{m}{x}$的两个交点，过点A，B分别作AC⊥y轴，BD⊥x轴，垂足为C，D．
（1）求两个函数的表达式；
（2）观察图象，直接写出不等式kx+b-$\frac{m}{x}$≥0的解集；
（3）判断CD与AB的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征得出m=-4n=（4-n）•（-4），解得n=2，m=-8，得出双曲线的解析式，把A、B点坐标代入直线解析式根据待定系数法，可求得直线解析式；
（2）不等式的解析集即为直线在双曲线上方时对应的x的范围，结合图象可求得其解集．
（3）分别求得OC=2，OD=2，△COD是等腰直角三角形，得出∠ODC=45°，由直线的斜率可知∠DEB=45°，证得∠ODC=∠DEB，即可证得CD∥AB．

解答 解：（1）∵A（-4，n），B（4-n，-4）在双曲线y=$\frac{m}{x}$上，
∴m=-4n=（4-n）•（-4），
解得n=2，m=-8，
∴A（-4，2），B（2，-4），
代入y=kx+b得：$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=2}\\{2k+b=-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴直线解析式为y=-x-2，双曲线的解析式为y=-$\frac{8}{x}$；
（2）∵等式kx+b-$\frac{m}{x}$≥0的解集即为直线在双曲线上方对应的x的取值范围，
∴不等式的解集为x≤-4或0＜x≤2．
（3）∵A（-4，2），B（2，-4），
∴OC=2，OD=2，
∴OC=OD，
∴∠ODC=45°，
由直线y=-x-2可知∠DEB=45°，
∴∠ODC=∠DEB，
∴CD∥AB．

点评 本题主要考查一次函数与反比例函数的交点，掌握两函数图象的交点坐标满足两函数解析式是解题的关键．