Question

如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠ABC=2∠C，求证：AC²=AB²+AB•BC．

Answer 1

解：在DC上取DE=BD，连接AE．
则AE=AB，
∴∠ABC=∠AEB．
∵∠ABC=2∠C，
又∵∠AEB=∠C+∠EAC，
∴∠EAC=∠C，
∴AE=EC，
∴CE=AB．
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∵AC²=AD²+CD²，AB²=AD²+BD²，
∴AC²-AB²=（AD²+CD²）-（AD²+BD²）
=CD²-BD²
=（CD+BD）（CD-BD）
=BC•（CD-DE）
=BC•CE=BC•AB．
即AC²=AB²+BC•AB．
分析：为了把∠ABC=2∠C转化成两个角相等的条件，可以构造辅助线：在DC上取DE=BD，连接AE．
根据线段的垂直平分线的性质以及三角形的内角和定理的推论能够证明AB=CE．再根据勾股定理表示出AC²，AB²．再运用代数中的公式进行计算就可证明．
点评：运用了线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理的推论、等角对等边、勾股定理以及平方差公式的知识．