Question

图1，线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”.如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N.试解答下列问题：

(1) 在图1中，请直接写出∠A+∠D与∠B+∠C之间的数量关系为                  ；

（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：       个；

（3）图2中，当∠D=50度，∠B=40度时，求∠P的度数。

（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与

∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系。（直接写出结果，不必证明）。

Answer 1

解：（1）  ∠A+∠D=∠C+∠B  ……………………………    2分

（2）  3 个  …………………………………………     4分

（3）解：∠DAP+∠D=∠P+∠DCP       ①

         ∠PCB+∠B=∠PAB+∠P       ②  …………… 6分

      ∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P

      ∴∠DAP=∠PAB，∠DCP= ∠PCB …………………  7分

+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B =∠P+∠DCP+∠PAB+∠P…………  9分

    又∵∠D=50度，∠B=40度      ∴50°+40°=2∠P

  ∴∠P=45°…………………………………………… 10分    

 （4）关系：2∠ P=∠D+∠B ………………………… 12分