Question

16．从一元到二元的变化：
（1）当k为何值时，关于x的方程x²-2x-k=0只有一个实数根？并求出这个根．
（2）当k为何值时，关于x、y的方程组$\left\{\begin{array}{l}x-y-k=0\\{x^2}-2y-1=0\end{array}\right.$只有一组实数解？

Answer 1

分析 （1）根据判别式为0时，一元二次方程有两个相等的实数根解答即可；
（2）把方程组用代入法化为一元二次方程，根据根的判别式进行解答．

解答 解：（1）由题意得，△=4+4k=0，
解得k=-1，
则方程为x²-2x+1=0，
解得x₁=x₂=1；
（2）$\left\{\begin{array}{l}{x-y-k=0①}\\{{x}^{2}-2y-1=0②}\end{array}\right.$，
由①得，y=x-k③，
把③代入②，
x²-2x+2k-1=0，
△=4-8k+4=0，
解得k=1，
∴当k=1时，关于x、y的方程组$\left\{\begin{array}{l}x-y-k=0\\{x^2}-2y-1=0\end{array}\right.$只有一组实数解．

点评 本题考查的是高次方程的解法和一元二次方程根的判别式的应用，掌握当判别式为0时，一元二次方程有两个相等的实数根是解题的关键．