Question

如图，△ABC的三条内角平分线相交于点O，过点O作OE⊥BC于E点，求证：∠BOD=∠COE．

Answer 1

证明：∵∠AFO=∠FBC+∠ACB=∠ABC+∠ACB，
∴∠AOF=180°-（∠DAC+∠AF0）
=180°-[∠BAC+∠ABC+∠ACB]
=180°-[（∠BAC+∠ABC）+∠ACB]
=180°-[（180°-∠ACB）+∠ACB]
=180°-[90°+∠ACB]
=90°-∠ACB，
∴∠BOD=∠AOF=90°-∠ACB，
又∵在直角△OCE中，∠COE=90°-∠OCD=90°-∠ACB，
∴∠BOD=∠COE．
分析：在△AOF中，利用三角形的内角和定理，以及角平分线的定义，可以利用∠ACB表示出∠AOF，则∠BOD即可得到，然后在直角△OCE中，利用直角三角形的两个内角互余以及角平分线的定义，即可利用∠ACB表示出∠COE，从而证得结论．
点评：本题主要考查了角平分线的定义，三角形的外角的性质以及三角形的内角和定理，正确求得∠AOF是关键．