Question

2．如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴表示地平面，y轴表示海拔高度（单位长度为1千米）．某炮位于坐标原点．图示炮弹发射后的轨迹（曲线）方程：y=kx-$\frac{1}{20}$（1+k²）x²（k＞0），k与炮弹的射程有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）求炮弹的最大射程；
（2）设第一象限有个飞行物（忽略其大小）的飞行高度为3.2千米，则该飞行物的横坐标不超过多少千米时，炮弹能够击中它？

Answer 1

分析 （1）求炮的最大射程即求  y=kx-$\frac{1}{20}$（1+k²）x²（k＞0）与x轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解即可．
（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解即可．

解答 （1）解：根据题意得：$y=kx-\frac{1}{20}（1+{k^2}）{x^2}=0$，
即：$x=\frac{20k}{{1+{k^2}}}=\frac{20}{{k+\frac{1}{k}}}$，
∵${（\sqrt{k}-\frac{1}{{\sqrt{k}}}）^2}≥0$，
∴$k+\frac{1}{k}≥2$，
∴$x=\frac{20}{{k+\frac{1}{k}}}≤10$，
∴炮弹的最大射程是10千米．

（2）解：∵速度与炮弹的射程有关，炮弹能够击中目标．∴k＞0，
根据题意的：$y=kx-\frac{1}{20}（1+{k^2}）{x^2}=3.2$，
整理得：x²k²-20xk+64+x²=0，
由△=（-20x）²-4x²（64+x²）≥0得：x≤6，
此时：$k=\frac{{20x+\sqrt{{{（-20x）}^2}-4{x^2}（{x^2}+64）}}}{{2{x^2}}}＞0$（不考虑另一根）
∴飞行物的横坐标不超过6千米时，炮弹能够击中它．

点评 本题考查函数模型的运用，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．