Question

7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别在AB、AC上，CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得到CF，连接EF．
（1）求证：△BDC≌△EFC；
（2）若EF∥CD，求证：∠BDC=90°．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质可得CD=CF，∠DCF=90°，然后根据同角的余角相等求出∠BCD=∠ECF，再利用“边角边”证明即可；
（2）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠F=90°，再根据全等三角形对应角相等可得∠BDC=∠F．

解答 （1）证明：由旋转的性质得，CD=CF，∠DCF=90°，
所以，∠DCE+∠ECF=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠DCE=90°，
∴∠BCD=∠ECF，
在△BDC和△EFC中，$\left\{\begin{array}{l}{CE=BC}\\{∠BCD=∠ECF}\\{CD=CF}\end{array}\right.$，
∴△BDC≌△EFC（SAS）；

（2）解：∵EF∥CD，
∴∠F+∠DCF=180°，
∵∠DCF=90°，
∴∠F=90°，
∵△BDC≌△EFC，
∴∠BDC=∠F=90°．

点评 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，旋转前后对应边相等，此类题目难点在于利用同角的余角相等求出相等的角．