Question

已知：如图，抛物线y=

1

2

x2+bx+3与x轴的正半轴交于A、B两点（A在B的左侧），且与y轴交于点C，O为坐标原点，tan∠OBC=

3

4

．
（1）直接写出点B、C的坐标及b的值；
（2）过线段CB上一点N，作MN∥OC分别交抛物线、x轴于M、T两点，设点N的横坐标为t．
①求线段MN的最大值；
②以点N为圆心，MN为半径作⊙N，当点B恰好在⊙N上时，求此时点M的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据抛物线y=

1

2

x²+bx+3直接得出点C的坐标，由OB=4，得出B点坐标，代入解析式即可得出b的值，
（2）①首先求出直线CB的解析式，进而得出MN=（-

3

4

t+3）-（

1

2

t²-

11

4

t+3）=-

1

2

（t-2）²+2，得出最值即可；
②根据当0＜t＜4时，由①得：MN=-

1

2

t²+2t，以及当t＞4时，点M在点N的上方，MN=

1

2

t²-2t分别求出t的值即可．

解答：解：（1）如图，∵抛物线y=

1

2

x2+bx+3与y轴交于点C，
∴当x=0时，y=3，
则C（0，3）．
∴OC=3
又∵tan∠OBC=

3

4

，
∴

OC

OB

=

3

4

，
∴OB=4．则B（4，0）．
把点B的坐标代入y=

1

2

x2+bx+3，得

1

2

×4²+4b+3=0，
解得 b=-

11

4

．
综上所述，点B（4，0），C（0，3），b=-

11

4

；

（2）①如图所示，设过点B（4，0），C（0，3）的直线CB的解析式为：y=kx+m，（k≠0），
∴

4k+m=0 m=3

，
解得：

k=- 3 4 m=3

，
∴直线CB的解析式为：y=-

3

4

x+3，
∵MN∥OC，
∴依据题意得出：N（t，-

3

4

t+3），则M（t，

1

2

t²-

11

4

t+3），
∵当0＜t＜4时，点M在点N的下方，
∴MN=（-

3

4

t+3）-（

1

2

t²-

11

4

t+3），
=-

1

2

t²+2t，
=-

1

2

（t-2）²+2，
∴当t=2时，MN有最大值2；

②依据题意得出：
当MN=BN时，点B恰好在⊙N上，
由于t=0，（点M，N重合），
t=4（点M，N和B重合）均不符合题意，故舍去，
a）当0＜t＜4时，如图，由①得：MN=-

1

2

t²+2t，
又∵MN∥OC．OC⊥OB，
∴MN⊥OB，垂足为T（t，0），
∴cos∠NBT=

TB

NB

=

OB

BC

=

4

5

，（I）
即

TB

NB

=

4

5

，
此时点N在点T的上方，点T在点B的左边．
∴TB=4-t，
代入（I）式得：
NB=

5

4

（4-t），
由

5

4

（4-t）=-

1

2

t²+2t，
整理可得：2t²-13t+20=0，
解得：t₁=4（不合题意舍去），
t₂=

5

2

，
故此时点M的坐标是（

5

2

，-

3

4

）；
b）当t＞4时，如图所示，点M在点N的上方，MN=

1

2

t²-2t，
此时点N在点T的下方，点T在点B的右边，
∴TB=t-4，
代入（I）式，可得：NB=

5

4

（t-4），
由

5

4

（t-4）=

1

2

t²-2t，
整理可得：2t²-13t+20=0，
解得：t₁=4（不合题意舍去），t₂=

5

2

（不合题意舍去）．
综上所述：符合题意的点M的坐标为（

5

2

，-

3

4

）．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及一元二次方程的解法，根据已知得出

5

4

（4-t）=-

1

2

t²+2t或

5

4

（t-4）=

1

2

t²-2t是解题关键．