Question

11．已知：$\sqrt{x}$=$\sqrt{a}$+$\frac{1}{\sqrt{a}}$，求$\frac{x-2+\sqrt{{x}^{2}-4x}}{x-2-\sqrt{{x}^{2}-4x}}$的值．

Answer 1

分析 首先化简已知条件，进而代入原式，结合完全平方公式以及利用分类讨论得出即可．

解答 解：∵$\sqrt{x}$=$\sqrt{a}$+$\frac{1}{\sqrt{a}}$，
∴x=a+$\frac{1}{a}$+2，
∴x-2=a+$\frac{1}{a}$，
∴$\frac{x-2+\sqrt{{x}^{2}-4x}}{x-2-\sqrt{{x}^{2}-4x}}$
=$\frac{a+\frac{1}{a}+\sqrt{（a-\frac{1}{a}）^{2}}}{a+\frac{1}{a}-\sqrt{（a-\frac{1}{a}）^{2}}}$
当0＜a＜1时，则a-$\frac{1}{a}$＜0，
原式=$\frac{a+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}-a}{a+\frac{1}{a}-\frac{1}{a}+a}$=$\frac{\frac{2}{a}}{2a}$=$\frac{1}{{a}^{2}}$；
当a≥1时，则a-$\frac{1}{a}$≥0，
原式=$\frac{a+\frac{1}{a}+a-\frac{1}{a}}{a+\frac{1}{a}-a+\frac{1}{a}}$=$\frac{2a}{\frac{2}{a}}$=a²．

点评 此题主要考查了二次根式的化简求值，正确利用完全平方公式是解题关键．