Question

4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．
（1）在△ABC内放入正方形纸片DEFG，使边EF在斜边AB上，点D、G分别在AC、BC上．则正方形的边长为$\frac{120}{37}$；
（2）类似第（1）小题，使正方形纸片一条边都在AB上，若在△ABC内并排（不重叠）放入两个小正方形，且只能放入两个，试确定小正方形边长的范围；
（3）在△ABC内并排放入（不重叠）边长为1的小正方形纸片，第一层小纸片的一条边都在AB上，首尾两个正方形各有一个顶点分别在AC、BC上，依次这样摆放上去，则最多能摆放16个小正方形纸片．

Answer 1

分析 （1）作CH⊥AB于H，交DG于P，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CH，根据相似三角形的性质计算即可；
（2）根据相似三角形的性质求出两个正方形的顶点分别在AC、BC上时，x的值即可；
（3）根据题意、结合图形，根据相似三角形的性质分别计算即可．

解答 解：（1）作CH⊥AB于H，交DG于P，
∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
∴CH=$\frac{\frac{1}{2}AC×BC}{\frac{1}{2}×AB}$=4.8，
∵四边形DEFG是正方形，
∴DG∥AB，
∴$\frac{DG}{AB}$=$\frac{CP}{CH}$，即$\frac{DG}{10}$=$\frac{4.8-DG}{4.8}$，
解得，DG=$\frac{120}{37}$，
故答案为：$\frac{120}{37}$；
（2）如图2，当两个正方形的顶点分别在AC、BC上时，
设正方形的边长为x，
由（1）得，$\frac{2x}{10}$=$\frac{4.8-x}{4.8}$，
解得，x=$\frac{120}{49}$，
则小正方形边长x的范围是x≤$\frac{120}{49}$；
（3）如图3，当DE=1时，
由（1）得，$\frac{DG}{10}$=$\frac{4.8-1}{4.8}$，
解得，DG=$\frac{95}{12}$，
则一条边都在AB上正方形的个数是7，
当PQ=2时，$\frac{PR}{10}$=$\frac{4.8-2}{4.8}$，
解得，PR=$\frac{35}{6}$，
则第二层正方形的个数是5，
同理，第三层正方形的个数是3，第④层正方形的个数是1，
则最多能摆放7+5+3+1=16个小正方形纸片．
故答案为：16．

点评 本题考查了正方形的性质和相似三角形的判定和性质，解题的关键是需要对正方形的性质、直角三角形的勾股定理和相似三角形的判定和性质熟练地掌握．