Question

13．如图，△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于D，E，BE=4CE，AD=$\sqrt{10}$．
（1）求证：AD=CD；
（2）求S_△ABC．

Answer 1

分析 （1）连接BD，根据圆周角定理可得∠ADB=90°，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AD=CD；
（2）连接AE，首先证明△AEC∽△BDC，可得$\frac{AC}{EC}$=$\frac{BC}{CD}$，再求出AC长，根据BE=4CE，设CE=x，则BE=4x，BC=5x，然后代入比例式可得x的值，进而可得BC长，然后利用勾股定理计算出BD长，再求面积即可．

解答 （1）证明：连接BD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵BA=BC，
∴AD=CD；

（2）解：连接AE，
∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠AEC=90°，
∴△AEC∽△BDC，
∴$\frac{AC}{EC}$=$\frac{BC}{CD}$，
∵AD=$\sqrt{10}$，
∴CD=$\sqrt{10}$，
∵BE=4CE，
∴设CE=x，则BE=4x，
∴BC=5x，
∴$\frac{2\sqrt{10}}{x}$=$\frac{5x}{\sqrt{10}}$，
解得：x=2或-2，
x=-2不合题意，舍去，
∴EC=2，
∴BC=10，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}-C{D}^{2}}$=3$\sqrt{10}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{10}$×3$\sqrt{10}$=30．

点评 此题主要考查了圆周角定理和相似三角形的判定和性质，关键是掌握直径所对的圆周角为直角．