Question

5．对任意-1≤a≤3，函数y=（2a+1）x+a+1＞0恒成立，求自变量x的取值范围．

Answer 1

分析 先展开，提a后合并，得（2x+1）a+x+1＞0，因为-1≤a≤3，所以把上式看做一个以a为变量的一元一次不等式．因为一次函数在R上单调减，所以代入-1≤a≤3取交集即可求解．

解答 解：（2a+1）x+a+1=0，
2ax+x+a+1=0，
（2x+1）a=-（x+1），
a=-$\frac{x+1}{2x+1}$，
-1≤-$\frac{x+1}{2x+1}$≤3，
-3≤$\frac{x+1}{2x+1}$≤1，
$\frac{x+1}{2x+1}$≥-3，$\frac{x+1}{2x+1}$≤1，
$\frac{7x+4}{2x+1}$≥0，$\frac{x}{2x+1}$≥0，
7x+4≥0，2x+1≥0，解得x≥-$\frac{1}{2}$，
7x+4≤0，2x+1≤0，解得x≤-$\frac{4}{7}$，
x≥0，2x+1≥0，解得x≥0，
x≤0，2x+1≤0，解得x≤-$\frac{1}{2}$．
故自变量x的取值范围是x≤-$\frac{4}{7}$或x≥0．

点评 此题考查了一次函数与一元一次不等式，关键是根据题意得到a=-$\frac{x+1}{2x+1}$，再代入-1≤a≤3，进一步求得自变量x的取值范围．