Question

10．如图，关于x的二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在x轴上存在一点P，使△PBC为等腰三角形，请求出点P的坐标；
（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，设运动时间为t秒，求△MNC面积是△MNB面积的2倍时t的值．

Answer 1

分析 （1）把A、B坐标代入可求得b、c的值，可求得二次函数表达式；
（2）可先求得BC长度，设P点坐标为（x，0），分∠PBC、∠PCB、∠BPC分别为等腰三角形顶角三种情况，分别根据等腰三角形的两腰相等可得到关于x的方程，可求得P点坐标；
（3）由条件可知AM=t，则DN=2t，分M在线段AD上和在线段BD上，可分别用t表示出△MNC和△MNB的面积，再由条件可得到关于t的方程，可求得t的值．

解答 解：
（1）∵二次函数图象过A、B两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+b+c=0}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴二次函数表达式为y=x²-4x+3；
（2）在y=x²-4x+3中，令x=0可得y=3，
∴C（0，3），且B（3，0），
∴OB=OC=3，
∴BC=3$\sqrt{2}$，
设P点坐标为（x，0），
当△PBC为等腰三角形时，则有∠PBC、∠PCB、∠BPC分别为等腰三角形顶角三种情况，
①当∠PBC为顶角时，则有PB=BC，
即|3-x|=3$\sqrt{2}$，解得x=3±3$\sqrt{2}$，
此时P点坐标为（3+$\sqrt{2}$，0）或（3-$\sqrt{2}$，0）；
②当∠PCB为顶角时，则有PC=BC，
∵OC⊥PB，
∴O为PB中点，
∴OP=OB=3，
∴此时P点坐标为（-3，0）；
③当∠BPC为顶角时，则点P在线段BC的垂直平分线上，
∴PB=PC，
∵OB=OC，
∴此时O点即为P点，其坐标为（0，0）；
综上可知P点坐标为（3+$\sqrt{2}$，0）或（3-$\sqrt{2}$，0）或（-3，0）或（0，0）；
（3）∵y=x²-4x+3，
∴抛物线对称轴为x=2，
∴D（2，0），
∴AD=BD=OA=1
由题意可知AM=t，DN=2t，
①当点M在线段AD上时，即0≤t≤1时，如图1，

则DM=AD-AM=1-t，BM=AB-AM=2-t，
此时S_△CMN=S_梯形CODN-S_△MOC-S_△MND=$\frac{1}{2}$OD（OC+ND）-$\frac{1}{2}$OC•OM-$\frac{1}{2}$MD•ND=$\frac{1}{2}$×2×（2t+3）-$\frac{1}{2}$×3（t+1）-$\frac{1}{2}$（1-t）•2t=t²-$\frac{1}{2}$t+$\frac{3}{2}$，
S_△BMN=$\frac{1}{2}$BM•DN=$\frac{1}{2}$（2-t）•2t=2t-t²，
∵S_△CMN=2S_△BMN，
∴t²-$\frac{1}{2}$t+$\frac{3}{2}$=4t-2t²，解得t=1或t=$\frac{1}{2}$；
②当点M在线段BD上时，即1＜t≤2时，
则DM=AM-AD=t-1，BM=AB-AM=2-t，如图2，

此时S_△CMN=S_{四边形COMN}-S_△AOC=S_梯形CODN+S_△MND-S_△MOC=$\frac{1}{2}$OD（OC+ND）+$\frac{1}{2}$MD•ND-$\frac{1}{2}$OC•OM=$\frac{1}{2}$×2×（2t+3）+$\frac{1}{2}$×2t（t-1）-$\frac{1}{2}$×3（t+1）=t²-$\frac{1}{2}$t+$\frac{3}{2}$，
同①可求得t=1或t=$\frac{1}{2}$，不在范围内；
综上可知△MNC面积是△MNB面积的2倍时t的值为1或$\frac{1}{2}$．

点评 本题为二次函数综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形的性质、二次函数的性质、图形的面积及分类讨论思想等知识点．在（1）中注意点的坐标与函数图象的关系，在（2）中分三种情况是解题的关键，在（3）中用t分别表示出△MNC和△MNB的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．