Question

20．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD：BC=1：3，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AE恰好过BD的中点F，∠FBE=30°
（1）求证：△AOF是等边三角形；
（2）若BF和OF是关于x的方程x²-（k-2）x+k=0的两根，试求k的值，并求梯形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）作辅助线，先根据两平行线的距离相等得：AE=DM，再证明四边形AEMD是矩形，得AD=EM，从而易证△BFE≌△DFA和△ABE≌△DCM，则BE=EM=CM，证△ABC≌△DCB，得∠ACB=∠FBE=30°，在Rt△BEF和Rt△AEC中，求∠AFO和∠EAC=60°，所以△AFO是等边三角形；
（2）根据直角三角形30°角的性质得出AF=2OF，设FO=x，则EF=x，BF=2x，由根与系数的关系列方程组解出即可，代入梯形的面积公式求出相应面积．

解答 证明：（1）过D作DM⊥BC于M，
∵AD∥BC，AE⊥BC，
∴AE=DM，AE∥DM，
∴四边形AEMD是矩形，
∴AD=EM，
∵F是BD的中点，
∴BF=FD，
在△BFE和△DFA中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠BEF=∠DAF=90°}\\{∠BFE=∠AFD}\\{BF=FD}\end{array}\right.$，
∴△BFE≌△DFA（AAS），
∴AD=BE，
∵AD：BC=1：3，
∴AD=$\frac{1}{3}$BC，
∴BE=EM=$\frac{1}{3}$BC，
∴BE=EM=CM，
在△ABE和△DCM中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=DM}\\{∠AEB=∠DMC=90°}\\{BE=CM}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCM（SAS），
∴AB=CD，∠ABC=∠DCB，
同理易证△ABC≌△DCB，
∴∠ACB=∠FBE=30°，
在Rt△BEF中，∴∠BFE=90°-30°=60°，
∴∠AFO=∠BFE=60°，
在Rt△AEC中，∠EAC=90°-30°=60°，
∴△AFO是等边三角形；
（2）∵△AFO是等边三角形；
∴AF=FO，
由△BFE≌△DFA得：AF=EF，
∴OF=EF，
在Rt△BFE中，∵∠FBE=30°，
∴BF=2EF，
设FO=x，则EF=x，BF=2x，
∵BF和OF是关于x的方程x²-（k-2）x+k=0的两根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+2x=k-2}\\{2x•x=k}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{k}_{1}=8}\end{array}\right.$   $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-\frac{1}{2}}\\{{k}_{2}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$（不符合题意，舍去），
当k=8时，x=2，即EF=2，
AE=2EF=4，BE=$\sqrt{（2x）^{2}-{x}^{2}}$=$\sqrt{3}$x=2$\sqrt{3}$，
∴AD=2$\sqrt{3}$，BC=3AD=6$\sqrt{3}$，
∴S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$（AD+BC）•AE=$\frac{1}{2}$×$（2\sqrt{3}+6\sqrt{3}）×4$=16$\sqrt{3}$，
综上所述，k的值是8，此时梯形ABCD的面积是16$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的判定、一元二次方程根与系数的关系以及梯形的定义，进行角的转换是解答本题的关键，运用的知识点较多，有一定的难度；