Question

已知：a、b、c分别是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边（a＞b）．二次函数y=（x-2a）x-2b（x-a）+c²的图象的顶点在x轴上，且sinA、sinB是关于x的方程（m+5）x²-（2m-5）x+m-8=0的两个根．
（1）判断△ABC的形状，关说明理由；
（2）求m的值；
（3）若这个三角形的外接圆面积为25π，求△ABC的内接正方形（四个顶点都在三角形三边上）的边长．

Answer 1

解：（1）△ABC是直角三角形，理由如下：
将y=（x-2a）x-2b（x-a）+c²化简，整理得：y=x²-2（a+b）x+2ab+c²，
∵此函数图象的顶点在x轴上，
∴=0，
整理，得a²+b²=c²，
∴△ABC是直角三角形；

（2）∵△ABC是直角三角形，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴sinB=cosA，
∴sinA、cosA是关于x的方程（m+5）x²-（2m-5）x+m-8=0的两个根，
∴，
又∵sin²A+cos²A=1，
∴（sinA+cosA）²-2sinA•cosA=1，
∴（）²-2×=1，
整理，得m²-24m+80=0，
解得m₁=20，m₂=4．
经检验，m₁=20，m₂=4都是原方程的根，
但是，当m₁=20时，sinA+cosA＞0，sinA•cosA＞0，
当m₂=4时，sinA+cosA＞0，sinA•cosA＜0，舍去，
∴m=20；

（3）∵△ABC的外接圆面积为25π，
∴外接圆半径R=5，
∴斜边c=10．
当m=20时，原方程变为25x²-35x+12=0，
解得x₁=，x₂=，
∴a=8，b=6．
设正方形的边长为x．
图1中，由EF：BC=AF：AC，得x：8=（6-x）：6，
解得x=；
图2中，CH=，
CK：CH=DG：AB，（-x）：=x：10，
解得x=．
综上可知，△ABC的内接正方形（四个顶点都在三角形三边上）的边长为或．
分析：（1）先由二次函数y=（x-2a）x-2b（x-a）+c²的图象的顶点在x轴上，得到判别式△=0，进而得到a²+b²=c²，再根据勾股定理的逆定理即可判定△ABC是直角三角形；
（2）先利用互余两角三角函数之间的关系得到sinB=cosA，再根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后利用同角三角函数之间的关系求得m的值；
（3）先由圆的面积公式求出△ABC的外接圆半径R=5，则斜边c=10，再将m=20代入方程（m+5）x²-（2m-5）x+m-8=0，
得到25x²-35x+12=0，解方程求出x的值，进而求得a=8，b=6．当正方形的四个顶点都在△ABC的三边上时，分两种情况进行讨论：①如图1，正方形CDEF有两条边在△ABC的直角边上；②如图2，正方形DEFG有一条边在△ABC的斜边上．
点评：本题考查了二次函数的性质，勾股定理的逆定理，互余两角、同角的三角函数之间的关系，一元二次方程根与系数的关系，相似三角形的判定与性质等知识，综合性较强，有一定难度．