Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=3．D是BC边上一点，直线DE⊥BC于D，交AB于E，CF∥AB交直线DE于F．设CD=x．
（1）当x=1时，求四边形EACF的面积；
（2）当x为何值时，四边形EACF是菱形？请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵DE⊥BC，∠ACB=90°
∴EF∥AC
∵CF∥AB
∴?EACF的面积=2×1=2

（2）由（1）可知四边形EACF是平行四边形，
则∠A=∠CFD，EF∥AC，
故∠ACB=∠FDC，
故△ABC∽△FCD，
即AB：CF=BC：CD
又∵AB==（勾股定理），BC=3
所以当CF=AC=2时，EACF是菱形．
∴：2=3：CD
所以x=CD=时，?EACF是菱形．
分析：（1）先判定四边形EACF是?，所以?EACF的面积=2×1=2；
（2）再根据△ABC∽△CFD中的AB：CF=BC：CD，得到：2=3：CD，解得CD=时，?EACF是菱形．
点评：本题考查的是平行四边形的性质和菱形的判定及性质．要掌握其性质才会灵活运用．要会根据相似三角形中的比例线段列方程求解．