【题目】已知四边形ABCD中,AB=AD,AB⊥AD,连接AC,过点A作AE⊥AC,且使AE=AC,连接BE,过A作AH⊥CD于H交BE于F.
(1)如图1,当E在CD的延长线上时,求证:①△ABC≌△ADE;②BF=EF;
(2)如图2,当E不在CD的延长线上时,BF=EF还成立吗?请证明你的结论.
【答案】(1)详见解析;(2)结论仍然成立,理由详见解析.
【解析】
试题分析:(1)①根据已知条件,利用SAS即可判定△ABC≌△ADE;②易证BC∥FH和CH=HE,根据平行线分线段成比例定理可证得BF=EF.(2)过E作MN⊥AH,交BA、CD延长线于M、N,,利用ASA证明△MAE≌△DAC,得AD=AM,根据等量代换得AB=AM,根据②同理得出结论.
试题解析:证明:(1)①如图1,
∵AB⊥AD,AE⊥AC,
∴∠BAD=90°,∠CAE=90°,
∴∠1=∠2,
在△ABC和△ADE中,
∵
∴△ABC≌△ADE(SAS);
②如图1,
∵△ABC≌△ADE,
∴∠AEC=∠3,
在Rt△ACE中,∠ACE+∠AEC=90°,
∴∠BCE=90°,
∵AH⊥CD,AE=AC,
∴CH=HE,
∵∠AHE=∠BCE=90°,
∴BC∥FH,
∴=1,
∴BF=EF;
(2)结论仍然成立,理由是:
如图2所示,过E作MN⊥AH,交BA、CD延长线于M、N,
∵∠CAE=90°,∠BAD=90°,
∴∠1+∠2=90°,∠1+∠CAD=90°,
∴∠2=∠CAD,
∵MN∥AH,
∴∠3=∠HAE,
∵∠ACH+∠CAH=90°,∠CAH+∠HAE=90°,
∴∠ACH=∠HAE,
∴∠3=∠ACH,
在△MAE和△DAC中,
∵
∴△MAE≌△DAC(ASA),
∴AM=AD,
∵AB=AD,
∴AB=AM,
∵AF∥ME,
∴=1,
∴BF=EF.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,AD=8cm,点P从点B出发,沿对角线BD向点D匀速运动,速度为4cm/s,过点P作PQ⊥BD交BC于点Q,以PQ为一边作正方形PQMN,使得点N落在射线PD上,点O从点D出发,沿DC向点C匀速运动,速度为3m/s,以O为圆心,0.8cm为半径作⊙O,点P与点O同时出发,设它们的运动时间为t(单位:s)(0<t<).
(1)如图1,连接DQ平分∠BDC时,t的值为 ;
(2)如图2,连接CM,若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形,求t的值;
(3)请你继续进行探究,并解答下列问题:
①证明:在运动过程中,点O始终在QM所在直线的左侧;
②如图3,在运动过程中,当QM与⊙O相切时,求t的值;并判断此时PM与⊙O是否也相切?说明理由.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】以下现象:①水管里水的流动;②滑雪运动员在平坦的雪地上滑行;③射出的子弹;④火车在笔直的铁轨上行驶.其中是平移的是( )
A.①②
B.①③
C.②③
D.②④
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在大楼AB的正前方有一斜坡CD,CD=4米,坡角∠DCE=30°,小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°,在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°,其中点A、C、E在同一直线上.
(1)求斜坡CD的高度DE;
(2)求大楼AB的高度(结果保留根号)
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图①,在中, , , . 是经过点的直线, 于, 于.
(1)求证: .
(2)若将绕点旋转,使与相交于点 (如图②),其他条件不变,
求证: .
(3)在(2)的情况下,若的延长线过的中点(如图③),连接,
求证: .
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