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【题目】已知四边形ABCD中,AB=AD,AB⊥AD,连接AC,过点A作AE⊥AC,且使AE=AC,连接BE,过A作AH⊥CD于H交BE于F.

(1)如图1,当E在CD的延长线上时,求证:①△ABC≌△ADE;②BF=EF;

(2)如图2,当E不在CD的延长线上时,BF=EF还成立吗?请证明你的结论.

【答案】(1)详见解析;(2)结论仍然成立,理由详见解析.

【解析】

试题分析:(1)根据已知条件,利用SAS即可判定ABC≌△ADE;易证BCFH和CH=HE,根据平行线分线段成比例定理可证得BF=EF.(2)过E作MNAH,交BA、CD延长线于M、N,,利用ASA证明MAE≌△DAC,得AD=AM,根据等量代换得AB=AM,根据同理得出结论.

试题解析:证明:(1)如图1,

ABAD,AEAC,

∴∠BAD=90°CAE=90°

∴∠1=2,

ABC和ADE中,

∴△ABC≌△ADE(SAS);

如图1,

∵△ABC≌△ADE,

∴∠AEC=3,

在RtACE中,ACE+AEC=90°

∴∠BCE=90°

AHCD,AE=AC,

CH=HE,

∵∠AHE=BCE=90°

BCFH,

=1,

BF=EF;

(2)结论仍然成立,理由是:

如图2所示,过E作MNAH,交BA、CD延长线于M、N,

∵∠CAE=90°BAD=90°

∴∠1+2=90°1+CAD=90°

∴∠2=CAD,

MNAH,

∴∠3=HAE,

∵∠ACH+CAH=90°CAH+HAE=90°

∴∠ACH=HAE,

∴∠3=ACH,

MAE和DAC中,

∴△MAE≌△DAC(ASA),

AM=AD,

AB=AD,

AB=AM,

AFME,

=1,

BF=EF.

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