Question

（2013•永州）如图，已知二次函数y=（x-m）²-4m²（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点．
（1）写出A、B两点的坐标（坐标用m表示）；
（2）若二次函数图象的顶点P在以AB为直径的圆上，求二次函数的解析式；
（3）在（2）的基础上，设以AB为直径的⊙M与y轴交于C、D两点，求CD的长．

Answer 1

分析：（1）解关于x的一元二次方程（x-m）²-4m²=0，求出x的值，即可得到A、B两点的坐标；
（2）由二次函数图象的顶点P在以AB为直径的圆上，A、B是抛物线与x轴的交点，根据抛物线的对称性及圆的半径处处相等可知PM是AB的垂直平分线，且MP=MA=MB=

1

2

AB，得出点P的坐标为（m，-2m），又根据二次函数的顶点式为y=（x-m）²-4m²（m＞0），得出顶点P的坐标为：（m，-4m²），则-2m=-4m²，解方程求出m的值，再把m的值代入y=（x-m）²-4m²，即可求出二次函数的解析式；
（3）连接CM．根据（2）中的结论，先在Rt△OCM中，求出CM，OM的长度，利用勾股定理列式求出OC的长，再根据垂径定理得出弦CD的长等于OC的2倍．

解答：解：（1）∵y=（x-m）²-4m²，
∴当y=0时，（x-m）²-4m²=0，
解得x₁=-m，x₂=3m，
∵m＞0，
∴A、B两点的坐标分别是（-m，0），（3m，0）；

（2）∵A（-m，0），B（3m，0），m＞0，
∴AB=3m-（-m）=4m，圆的半径为

1

2

AB=2m，
∴OM=AM-OA=2m-m=m，
∴抛物线的顶点P的坐标为：（m，-2m），
又∵二次函数y=（x-m）²-4m²（m＞0）的顶点P的坐标为：（m，-4m²），
∴-2m=-4m²，
解得m₁=

1

2

，m₂=0（舍去），
∴二次函数的解析式为y=（x-

1

2

）²-1，即y=x²-x-

3

4

；

（3）如图，连接CM．
在Rt△OCM中，∵∠COM=90°，CM=2m=2×

1

2

=1，OM=m=

1

2

，
∴OC=

CM2-OM2

=

12-( 1 2 )2

=

3

2

，
∴CD=2OC=

3

．

点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的性质，以及圆的半径、弦心距、半弦长构成直角三角形的应用，勾股定理，垂径定理等知识，综合性较强，但难度不是很大，仔细分析求解便不难解决．